Sumy kwadratów wielomianów

Suma kwadratów najczęściej kojarzy się nam z twierdzeniem Pitagorasa - słusznie, ale warto wiedzieć, że temat ten ma swoje miejsce również w teorii liczb, gdzie interesuje nas, czy daną liczbę całkowitą można przedstawić w postaci sumy kwadratów innych liczb całkowitych. Intrygujące jest również pytanie, ile składników znajduje się w tej sumie. Osiągnięcia w tym zakresie mieli między innymi Fermat, Euler i Lagrange...

Fermat wysnuł hipotezę, że każda liczba pierwsza postaci $4k + 1$ jest sumą dwóch kwadratów, co udowodnił Euler. Istnieje twierdzenie, które podaje, jakie warunki musi spełniać liczba naturalna, aby była sumą dwóch kwadratów.

Twierdzenie 1. Liczbę naturalną można przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej czynnik pierwszy postaci $4k + 3$ występuje w parzystej potędze.

Przykłady:

3⋅3⋅5 = 45 = 32 + 62, 7 ⋅7⋅2 ⋅2⋅2 = 392 = 142 + 142.

Niektóre liczby wymagają trzech kwadratów:

2 2 2 2 2 2 7⋅3⋅4 = 84 = 2 + 4 + 8 , 2⋅5 ⋅31 = 310 = 15 + 9 + 2 .

A gdybyśmy chcieli przedstawić dowolną liczbę naturalną jako sumę kwadratów? Czy da się to zrobić dla każdej liczby naturalnej? I czy możemy oszacować liczbę składników w takiej sumie? Okazuje się, że bez zakładania dodatkowych warunków trzy kwadraty to również za mało. W 1770 roku Lagrange udowodnił następujące

Twierdzenie 2 (Lagrange, 1770). Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów liczb naturalnych.

Oczywiście, twierdzenie Lagrange'a można zmodyfikować na różne sposoby, na przykład zmieniając postać składników. Istnieją odpowiednie twierdzenia związane z przedstawieniem liczby naturalnej jako sumy sześcianów. Jest również teoria związana z twierdzeniem Waringa, w którym pytamy o najmniejszą potrzebną liczbę składników w sumie $|k$ -tych potęg, aby móc otrzymać w wyniku dowolną liczbę naturalną. Jednak w naszych dociekaniach zostaniemy przy kwadratach. Jeżeli chodzi o przedstawienie liczby naturalnej jako sumy kwadratów, to właściwie twierdzenie Lagrange'a wyczerpuje temat.

Wątek teorii liczb jest tylko wstępem do rozważań nieco innych. Kto powiedział, że sumy kwadratów możemy rozpatrywać tylko w kontekście liczb? Dlaczego zamiast nich nie możemy wziąć pod uwagę innych obiektów matematycznych - na przykład wielomianów? Problemem przedstawienia wielomianu jako sumy kwadratów innych wielomianów jako pierwszy zajął się David Hilbert. Sformułował on następujące

Pytanie. Czy z nieujemnej określoności wielomianu wynika to, że możemy przedstawić go jako sumę kwadratów wielomianów?

Rozważmy proste wersje tego problemu. Weźmy pod lupę najpierw wielomiany jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, których zbiór oznaczymy przez $R[X].$

Twierdzenie 3. Niech $W ∈R[X]$ będzie nieujemnie określony. Wówczas $|W = W21 +W 22$ dla pewnych $W1,W2 ∈R[X].$

Dowód. Załóżmy, że $W ∈R[X]$ jest nieujemnie określony. Z Zasadniczego Twierdzenia Algebry wynika, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów rzeczywistych pierwszego i drugiego stopnia. Ponieważ $W$ jest nieujemnie określony, więc można go przedstawić jako iloczyn nieujemnie określonych wielomianów drugiego stopnia (Czytelniku, dlaczego?). Można go zatem zapisać w postaci

W(X) = c⋅(X2 + a1X + b1)2⋅...⋅(X2 + anX + bn),

gdzie $c > 0$ oraz wyróżnik każdego kwadratowego czynnika jest niedodatni. Wykorzystując przedstawienie trójmianu kwadratowego w postaci kanonicznej, dostajemy

2 √ --- X2 + a X + b = (X + ak) + 1 −∆ 2, gdzie∆ = a2− 4b ⩽ 0. k k 2 2 k k

Stąd

W = (p21 + q21)⋅...⋅(p2n +q2n),

gdzie $p1,...,pn ∈R[X].$ Dalej korzystamy z tożsamości

(A2 +B2)(C2 + D2) = (AC +BD)2 + (AD − BC)2.

Następnie przekształcamy nasz iloczyn zgodnie z powyższą równością, aż będzie on równy sumie kwadratów pewnych wielomianów $| W1,W2 ∈R[X].$

Naturalnie, pojawia się pytanie, czy analogiczne twierdzenie zachodzi dla wielomianów dwóch zmiennych o współczynnikach rzeczywistych (których zbiór oznaczać będziemy przez $R[X1,X2]$ ). Okazuje się, że nie, a chcąc udowodnić ten fakt, można posłużyć się kontrprzykładem. Wielomian

2 2 2 4 4 2 W (X1,X2) = 1− 3X1X2 +X1X2 + X1X2∈ R[X1,X2],

nazywany wielomianem Motzkina, był pierwszym przykładem dodatnio określonego wielomianu, który nie jest sumą kwadratów innych wielomianów. Pojawił się stosunkowo późno, bo dopiero w 1967 roku. Jego dodatnia określoność jest konsekwencją nierówności pomiędzy średnimi - średnią arytmetyczną i średnią geometryczną. Mamy

a + b+ c 3√ ---- -------- ⩾ abc dla dowolnych a,b,c > 0. 3

Podstawiając $a = X41X22,b = X21X42,c = 1$ otrzymujemy

W (X1,X2) = 1− 3X2X2+ X2X4 +X4 X2⩾ 0. 1 2 1 2 1 2

Wykażemy teraz, że $W$ nie jest sumą kwadratów wielomianów. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że $W$ jest sumą pewnych $k$ kwadratów, czyli

k W = Q W2, Wi∈ R[X1,X2]. i 1 i

Z tej racji, że stopień wielomianu $W$ jest równy $6,$ to stopień każdego z wielomianów $Wi$ jest równy co najwyżej $3.$ Stąd każdy wielomian $|W i$ składa się z wielomianów

2 2 3 3 2 2 1,X1,X2,X1,X2,X1X2,X1,X2,X1X2,X1X2

z pewnymi rzeczywistymi współczynnikami. Zauważmy, że $2 2 4 4 6 6 |X1,X2,X1,X2,X1,X2$ nie występują w jawnej postaci wielomianu $W ,$ więc składniki $|X1,X2,X21,X22,X31,X32$ nie mogą występować w żadnym z $|Wi.$ Stąd

W = a + b XX + cX2X +d X X2 i i i 1 2 i1 2 i 12

dla pewnych liczb rzeczywistych $ai,bi,ci,di.$ Wtedy jednak $|Pki 1b2i = − 3,$ co daje sprzeczność; wielomianu Motzkina nie można zatem przedstawić w postaci sumy kwadratów wielomianów dwóch zmiennych.

Widzimy więc, że odpowiedź na pytanie Hilberta jest negatywna, choć są również "częściowo pozytywne" wyniki, jak poniższy:

Twierdzenie 4 (Hilbert, 1888). Niech $W ∈ R[X1,X2]$ będzie nieujemnie określonym wielomianem stopnia $|4.$ Wtedy $W$ jest sumą trzech kwadratów z $R[X ,X]. 1 2$

Skoro nie każdy nieujemnie określony wielomian możemy zapisać jako sumę kwadratów innych wielomianów, spróbujmy poszerzyć zakres naszych poszukiwań - zamiast wielomianów zapytajmy o ilorazy wielomianów, czyli tak zwane funkcje wymierne. W pewnym sensie są one dla wielomianów tym samym, czym liczby wymierne dla liczb całkowitych. Zbiór funkcji wymiernych $| n$ zmiennych oznaczać będziemy przez $|R(X1,...,Xn).$ W tym kontekście odpowiedzi na nasze pytania dostarcza poniższe

Twierdzenie 5 (Artin, 1927). Niech wielomian $|W$ będzie nieujemnie określony. Wtedy $|W$ jest sumą kwadratów z $|R(X1,...,Xn).$

Po opublikowaniu wyniku Artina pojawiły się inne pytania. Jak dużo kwadratów jest w rozkładzie na sumę? Jeden z wyników w tym zakresie należy do Hilberta.

Twierdzenie 6 (Hilbert, 1893). Niech wielomian $|W ∈R[X ,X ] 1 2$ będzie nieujemnie określony. Wtedy $W$ jest sumą czterech kwadratów z $R(X1, X2).$

Naturalne jest pytanie, czy możemy wzmocnić to twierdzenie przez zapisanie dodatnio określonego wielomianu jako sumy trzech kwadratów funkcji wymiernych. Odpowiedź jest negatywna i z pomocą jako kontrprzykład ponownie przychodzi nam wielomian Motzkina - tym razem jednak uzasadnienie nie jest elementarne i korzysta z dziedziny zwanej geometrią algebraiczną.

Twierdzenie 7 (Cassels-Ellison-Pfister, 197). Wielomian Motzkina nie jest sumą trzech kwadratów z $R(X ,X ). 1 2$

Okazuje się, że wielomian Motzkina nie jest w tym sensie wyjątkowy. Jean-Louis Colliot-Thélène pokazał w 1993 roku, że w zbiorze wielomianów stopnia co najmniej 6 te, które można przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów funkcji wymiernych, stanowią pomijalny zbiór zarówno z topologicznego, jak i teoriomiarowego punktu widzenia; szczegóły można znaleźć na przykład w artykule Oliviera Benoista: Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares.

Teraz wróćmy do liczby składników w przypadku dowolnej liczby zmiennych. O tym, jak można ją oszacować dla funkcji wymiernych $n$ zmiennych, mówi poniższe twierdzenie Pfistera.

Twierdzenie 8 (Pfister, 1967). Niech wielomian $W ∈ R[X ,...,X ] 1 n$ będzie nieujemnie określony. Wtedy $|W$ jest sumą $n 2$ kwadratów z $R(X1, ...,Xn).$

Nasuwa się kolejne pytanie: czy ograniczenie $n |2$ może zostać poprawione? Innymi słowy, czy istnieje nieujemnie określony wielomian z $R[X1,...,Xn],$ który nie jest sumą $2n− 1$ kwadratów z $R(X1, ...,Xn)?$ Dylemat ten został sformułowany przez Albrechta Pfistera zaraz po opublikowaniu dowodu, że liczba składników $n 2$ jest wystarczająca. Na chwilę obecną wiadomo jedynie, że $n + 1$ to za mało. Jak widać, choć siedemnasty problem Hilberta został rozwiązany już w $|1927$ roku, to temat związany z tym zagadnieniem jest pełen kwestii nierozstrzygniętych. Do zrobienia wciąż pozostaje wiele, a zaprezentowane tutaj twierdzenia są tylko częścią większej układanki.