Porównywanie wież potęgowych

Zadanie. Używając dowolnych cyfr oraz operacji $|+;−;⋅;/;$ potęgowania i nawiasów, należy zapisać działanie o możliwie największym wyniku. Czas na zapisanie działania to 10 sekund.

Drogi Czytelniku, z dużym prawdopodobieństwem zapisałeś coś takiego $9:::9 |9 ,$ czyli wieżę potęgową. Działanie $a:::a a$ oznaczmy przez $a b,$ gdzie $|b$ oznacza, ile razy liczba $a$ pojawia się w wieży. Możemy rozważyć również wieże, w których kolejne "piętra" nie są taką samą liczbą. Wprowadźmy następującą notację:

a:::an a12 = [a1;a2;...;an].

Przyjmijmy, że wszystkie liczby w wieży, poza ostatnią, muszą być całkowite i niezerowe. Wartość $n$ nazywamy wysokością wieży. Ponadto zastosujemy następujące uproszczenie: jeżeli liczba $|a$ pojawia się w wieży $k$ razy pod rząd, to będziemy to oznaczać przez $a ×k,$ na przykład:

5 3333 = 3 4 = [3;3;3;3] = [3× 4], 3555 = [3;5 ×4].

W tym artykule zajmiemy się takimi właśnie wieżami. Dokładniej, jak już mógł zdradzić tytuł, będziemy starali się wskazać sposób porównywania wież.

Zaczniemy od znalezienia ogólnego sposobu na zapisanie wyrażenia $|[a ;a ;...;a ] 1 2 n$ za pomocą wieży $[10 ×k; y],$ gdzie $k > 0$ jest naturalne, a $|y∈ [1,10),$ czyli

[a1;a2;...;an] = [10× k;y].

Przy tym staramy się znaleźć takie $y,$ żeby nie zmieniać wartości wieży, albo (co częstsze) zmienić ją możliwie nieznacznie. Wieżę $|[10 × k;y]$ nazwiemy znormalizowaną. Sprowadzanie dwóch wież do takiej postaci pozwala sprawnie porównać ich wartości - wystarczy porównać wysokości wież znormalizowanych oraz, jeśli wysokości są identyczne, ostatnią liczbę w wieży. Na kilku przykładach zaprezentujemy normalizację.

Przykład 1. Rozważmy $[9;9]$ i znajdźmy takie $x,$ dla którego zachodzi $99 = 10x.$ Oczywiście $x = log 99 = 9log 9≈ 8,588,$ a więc

[9;9] = [10;9log 9]≈ [10;8,588].

Przykład 2. Weźmy $|[9 × 3]$ i znajdźmy takie $|x,$ że zachodzi $99 x |9 = 10 .$ W tym przypadku $9 x = 9 log9 ⩾ 10.$ Kolejnym krokiem jest znalezienie takiego $x1,$ że $x = 10x1.$ Oczywiście $|x1 = log x = 9 log 9 +log(log9) ≈ 8,568,$ czyli ostatecznie

[9× 3] = [10;10;x] ≈ [10;10;8,568]. 1

Przykład 3. Rozważmy wreszcie liczbę $[9× 4]$ i postąpmy podobnie jak wcześniej. Mamy kolejno: $[9 ×4] = 10x,x = [9× 3]log 9,x = 10x1,$
$|x = log x = 99 log 9+ log(log9),x = 10x2,x = logx = ... 1 1 2 1$ I tu napotykamy kłopot, gdyż liczba $|x1$ jest sumą dwóch liczb, a nie da się rozbić logarytmu sumy. Zamiast tego spójrzmy na składniki $|x1$ i zauważmy, że zachodzi $99 log 9 ≫ log(log9) .$ (Obie strony rozważamy w modułach, gdyż liczba $|loglog9$ jest ujemna.) Istotnie, $9 8,568 |9 log 9 ≈10$ oraz $|log(log 9) ≈− 0,02.$ W takim razie zaniedbajmy ten mały składnik. Wtedy $|x1≈ 99log9$ i ostatecznie $|x′2 = 9log9 + log log9$ oraz

[9 ×4] ≈ [10 × 3;x′] ≈ [10 × 3;8,568]. 2

Różnica między najwyższymi piętrami, to jest między $|x2$ i $x′, 2$ wynosi $| log(99log 9+ log(log 9))− (9 log 9+ log(log9)) < 10−10,$ jest więc relatywnie mała.

Spójrzmy teraz na problem szacowania z nieco innej strony. Najpierw parę narzędzi. Zapiszmy $y y log(x + y) = log(x ⋅(1+ x)) = log x +log(1 + x)$ i podstawmy $|z = y/x.$ Następnie rozwińmy drugi składnik w szereg Taylora w punkcie $|z0 = 0$

+∞ (−-1)n+1zn log(1+ z) =Q n ln 10 . n 1

Podstawiając wartości z Przykładu 3., otrzymujemy $z = log9log9≈ −5,5 ⋅10−11. 9log9$ Sprawdźmy, jak wygląda analogiczne przybliżenie dla liczby $[9× 5].$ W tym przypadku pierwsze przybliżenie stosowane jest do liczb $x = [9× 3]log 9$ oraz $|y = loglog2,$ a więc $z = yx ≈− [10;− 10;8,568].$ Ta liczba jest mała, więc możemy dokonać następującego przybliżenia (tylko pierwszy wyraz szeregu Taylora): $-z- |log(1 +z) ≈ ln10,$ i stwierdzić, że te wartości nie różnią się prawie wcale.

Cały artykuł dostępny jest w wersji do druku [application/pdf]: (374 KB)