Jedno zdanie

O trudnym problemie, który ma jednozdaniowe rozwiązanie...

Problem. Nieparzysta liczba pierwsza $|p$ może być przedstawiona jako suma dwóch kwadratów liczb naturalnych

p = x2 + y2

(1)

wtedy i tylko wtedy jeśli $p ≡ 1 (mod 4).$

Taką hipotezę postawił w 1625 roku Albert Girard, a w 1640 roku również Pierre de Fermat i to z jego powodu ten fakt nazywany jest teraz twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów.

Jednak żaden z powyższych matematyków nie udowodnił postawionej hipotezy. Zrobił to dopiero w 1747 roku Leonard Euler, jego dowód był jednak dosyć skomplikowany. Potem pojawiały się kolejne, coraz prostsze dowody, udział wzięli m.in. Lagrange w 1775 roku i Dedekind w 1877 roku. Aż w końcu parę lat temu, w roku 1990, Don Zagier, amerykański matematyk, przedstawił dowód, który miał dokładnie jedno zdanie. Aby je wystarczy przeczytać artykuł z The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2.

Przedstawimy tutaj ten dowód w nieco większej, ale wciąż małej liczbie zdań. Po pierwsze, zauważmy, że jeśli $|p /≡ 1 (mod 4)$ i $p$ jest nieparzysta, to $p ≡ 3 (mod 4).$ Zatem w oczywisty sposób $p$ nie jest sumą dwóch kwadratów, bo każdy kwadrat przystaje do 0 lub $1$ modulo $|4.$

Ustalmy taką liczbę $|p,$ że $|p ≡1 (mod 4).$ Do dowodu twierdzenia wystarczy wykazać, że równanie $p = x2 +y2$ ma przynajmniej jedno rozwiązanie. Przyjrzyjmy się dokładniej innemu równaniu

p = x2 + 4yz.

(2)

Wykażemy, że ma ono nieparzyście wiele rozwiązań. Nim to jednak zrobimy zobaczmy, jak z tego wynika, że $|p = x2 +y2$ ma rozwiązanie. Zauważmy, że jeśli $(x,y,z)$ jest rozwiązaniem (2), to $(x,z,y)$ również. A więc rozwiązania równania (2) łączą się w pary, oprócz takich rozwiązań, że $(x,y, z) = (x,z,y),$ czyli gdy $y = z.$ Ponieważ, jak wykażemy wkrótce, rozwiązań (2) jest nieparzyście wiele, to nie wszystkie mogą połączyć się w pary i istnieje pewne rozwiązanie takie, że $y = z.$ A to oznacza, że mamy $2 2 2 2 p = x + 4y = x + (2y) ,$ czyli również (1) ma rozwiązanie.

Żeby wykazać, że (2) ma nieparzyście wiele rozwiązań, stosujemy podobną metodę co poprzednio. Rozważmy przekształcenie

⎧⎪⎪⎪(x +2z,z,y − x −z) jeś li x ⩽ y− z ⎪⎪ f (x,y,z) = ⎨⎪⎪(2y −x, y,x −y + z) jeśli y − z < x ⩽ 2y ⎪⎪⎪(x −2y, x− y + z,y) jeśli x > 2y. ⎩

(3)

Okazuje się, że jeśli $(x,y,z)$ rozwiązuje równanie (2), to $f (x,y,z)$ również, ponadto po dwukrotnym zastosowaniu funkcji $| f$ do trójki $|(x,y,z)$ otrzymujemy ponownie $(x,y, z),$ co Czytelnik Cierpliwy może sprawdzić samodzielnie. A więc funkcja $f$ może nam posłużyć do sparowania rozwiązań równania (2): $(x, y,z)$ jest w parze z $f(x, y,z).$ Jedyne rozwiązania, które nie stoją w parach, to te, dla których $(x, y,z) = f (x,y,z).$ Okazuje się, że takie rozwiązania można jedynie otrzymać za pomocą środkowej linii definicji (3), czyli dla

(x, y,z) = (2y − x,y,x − y+ z).

(4)

Łatwo sprawdzić, że linia pierwsza i trzecia dawałaby $(x,y,z) = (0,0,0),$ co oczywiście nie spełnia równania (2). Dla (4) otrzymujemy $x = y,$ czyli $2 |p = x +4xz = x(x + 4z).$ Musi to oznaczać $|x = 1,$ więc $y = 1$ oraz $p−1 |z =-4-,$ czyli jest tylko jedno rozwiązanie (2), które nie stoi w parze: $|(1,1, p−1). 4$ A zatem rozwiązań (2) jest nieparzyście wiele, co kończy dowód.