Liczby pierwsze jako niewiadome

W historii ludzkiego poznania mało jest tak fascynujących pojęć jak liczby pierwsze. Chociaż dzisiaj wiemy o nich znacznie więcej niż 120 lat temu, to jeszcze więcej dotyczących ich pytań pozostaje bez odpowiedzi. Celem tej notki jest pokazanie, że trudno jest ocenić na pierwszy rzut oka, czy pytanie dotyczące liczb pierwszych jest łatwe, czy też bardzo trudne - poza zasięgiem współczesnej nauki.

Rozważmy najpierw następujące równanie z dwiema niewiadomymi:

p2− 2q2 = 1.

(1)

Szukamy rozwiązań w liczbach pierwszych $p, q.$ Jeśli $q = 2,$ to $p = 3.$ Jeżeli natomiast $q > 2,$ to obie $|p,q$ są nieparzyste, a więc

p2≡ q2≡ 1 (mod 4).

Wynika stąd, że

1 = p2 − 2q2≡ 1− 2 ≡3 (mod 4),

co jest absurdem. Jedynym rozwiązaniem równania (1) w liczbach pierwszych $|p,q$ jest zatem para $|p = 3,q = 2.$

Zajmiemy się teraz podobnym równaniem:

p2− 2q2 = −1.

(2)

Można zgadnąć, że para $|(7,5)$ jest rozwiązaniem (2) w liczbach pierwszych. W przypadku jeszcze większej determinacji natrafimy na rozwiązanie $(41,29)$ (proszę sprawdzić!) ale co robić dalej! Już teraz widać, że ewentualny dowód (ewentualnego) "twierdzenia", iż równanie (2) ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach pierwszych $|p,q,$ nie może być całkiem banalny, gdyż musiałby on wychwycić znalezione rozwiązania. Podejdźmy więc do problemu bardziej systematycznie i bez żadnych uprzedzeń. Zauważmy przede wszystkim, że pary $(a ,b ), n n$ określone wzorem

√ -- √ --n an + bn 2 = (1+ 2) , gdzie n = 1,3,5,7,...,

spełniają równanie (2), gdyż ze wzoru dwumianowego Newtona wynika, że

√ -- √ -- (1 − 2)n = an− bn 2,

a zatem

2 2 √ -- √ -- √ --n √-- n n an − 2bn = (an + bn 2)(an− bn 2) = (1+ 2) (1− 2) = (−1) = − 1,

gdyż $n$ jest nieparzyste. Łatwo sprawdzić, że zgadnięte wcześniej rozwiązania w liczbach pierwszych to $|(a3,b3)$ oraz $|(a5,b5).$ Z pomocą komputera sprawdziliśmy rozwiązania $(an,bn)$ dla wszystkich $|n ⩽60$ : tylko dla $n = 3,5,29,59$ otrzymujemy obie liczby pierwsze.

|---|--------------------------|------------------------| | n | an | bn | |---|--------------------------|------------------------| | 1 | 1 | 1 | |---|--------------------------|------------------------| | 3 | 7 | 5 | |---|--------------------------|------------------------| | 5 | 41 | 29 | |---|--------------------------|------------------------| |29-|-------63018038201--------|-----44560482149--------| | | | | |59-|19175002942688032928599---|13558774610046711780701--| | | | | --?--------------?-------------------------?------------

Ale możemy zaryzykować hipotezę, że równanie (2) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach pierwszych $p,q.$ Raczej nie zachęcamy Cię, Czytelniku, abyś się nią zajmował, ale do studiowania matematyki teoretycznej jak najbardziej:)