Mała Delta

Sposób na niesforne ulamki

- Z tymi ułamkami to zupełnie nic nie wiadomo - narzekał po lekcji matematyki Janek. - Na przyklad $56 84:$

Wyglada nieladnie, w liczniku i w mianowniku straszą takie duże liczby, ale jak się dobrze przyjrzeć i poskracać: przez 2, jeszcze raz przez 2, przez 7..., robi się z niego całkiem miły ułamek, zwyczajne $23.$ Ułamek z małymi liczbami w liczniku i w mianowniku bardzo łatwo "rozdmuchać". Na przykład $|7 8$ można rozszerzyć do $119 |136$ mnożąc licznik i mianownik przez 17. Ale bądź taki mądry i skróć olbrzyma, żeby się zrobił przyjemny i zgrabny. Skąd mam wiedzieć, że trzeba licznik i mianownik podzielić przez 17? O mam tutaj taki okropny ułamek $1073. 1517$ Od godziny próbuję go skrócić i wciąż nie wiem, czy się da, czy nie.

- A ja mam sposób na twoje ułamki - pocieszał Janka Andrzej. - Zabierzemy się do nich zupełnie inaczej, nie będziemy na oślep szukali, przez co można by skrócić. Zastanów się na przykład, czy można skrócić ułamek $|331112?$

- Chyba nie... Tak mi się wydaje, że nie.

- A dlaczego tak ci się wydaje?

- No, bo między licznikiem i mianownikiem jest bardzo mała różnica, tylko 1 - niepewnie powiedział Janek.

- Bardzo słusznie. Zwróciłeś uwagę na ważny fakt:

Fakt. Jeżeli jakieś dwie liczby dzielą się przez wspólny dzielnik $|D,$ to ich różnica też musi się dzielić przez $|D.$

Widać to dobrze na osi liczbowej.

Dużymi kropkami oznaczyliśmy liczby podzielne przez $D, |$ a wiec $|O, D, 2D, 3D, 4D,$ itd. Rysunek pokazuje, że różnica dwóch takich liczb też dzieli się przez $|D.$

Uzasadnić możemy to w ten sposób: jeśli liczba a dzieli się przez $D,$ to $a | = k⋅D;$ jeśli liczba $b |$ dzieli się przez $D,$ to $|b = m ⋅D.$ Wobec tego $a − b = k ⋅D − m ⋅D = (k − m) \xE2$ a to oznacza, że $a − b$ też dzieli się przez $|D.$

Moglibyśmy nawet udowodnić takie twierdzenie:

Twierdzenie. Liczby $a$ oraz $b$ maja taki sam największy wspólny dzielnik, co liczby $|a− b$ oraz $b.$

Skorzystamy z tego twierdzenia, żeby skrócić ułamek $|113196.$ Obliczmy różnicę $136− 119 = 17$ i zamiast szukać największego wspólnego dzielnika dla liczb 119 i 136 poszukamy go dla liczb 17 i 119. Nietrudno się domyśleć, że jest 17. Rzeczywiscie, po podzieleniu otrzymamy $|136 = 117 ⋅8$ i $|119 = 17 ⋅7.$

Mamy wiec sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika liczb 1517 i 1073. Trochę liczenia i uprościmy twój okropny ułamek. Nie powinno nam to zając nawet pięciu minut.

Obliczenia i ich wyniki zapisywać będziemy po kolei w tabelce. W każdym następnym wierszu tabelki (tam, gdzie napisaliśmy "liczby") zamiast liczb z poprzedniego wiersza wpisywać będziemy inne dwie liczby: mniejszą z liczb, które były wyżej, oraz ich różnicę. Liczby będą się zmieniały, ale ich wspólny dzielnik będzie ten sam. Podziel teraz licznik i mianownik przez 37 (bądź spokojny, na pewno da się podzielić) i skróć ułamek, nad którym się tak długo męczyłeś.

Jeśli macie ochotę - drodzy Czytelnicy - to skróćcie ułamek Janka. Cierpliwi mogą się przekonać, że wszystkie liczby napisane w tabelce przez Andrzeja dzielą się przez 37.

Sprawdźmy jeszcze, co się stanie, gdy weźmiemy do obliczeń ułamek nieskracalny, na przykład $12 17.$ Obliczenia zanotujemy, jak poprzednio, w odpowiedniej tabelce:

Okazuje się, ze największą i jedyną liczbą, przez którą się dzielą i 12, i 17, jest 1. Nie można więc skrócić ułamka $12 |17.$ Jest on nieskracalny.

Dla wszystkich, którzy chcieliby sprawdzić nową metodę skracania ułamków, przygotowaliśmy przykłady takich specjalnych "olbrzymów". Przekonajcie się, że zwykłą metodą nie łatwo będzie je skrócić: $|16134999, 73798271, 25290111, 470313.$