Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Jak powszechnie wiadomo, wykładnik jest zupełnie wyjątkowy, gdyż wtedy równanie (1), zwane równaniem Pitagorasa, ma nieskończenie wiele nieproporcjonalnych rozwiązań, a nawet dużo więcej - ma rozwiązanie w wielomianach o współczynnikach całkowitych:

Pokażemy przede wszystkim, że dla ustalonego równanie (1) nie ma rozwiązań w wielomianach o współczynnikach zespolonych, chyba że wszystkie wymienione wielomiany są stałe! Załóżmy nie wprost, że trójka wielomianów jest hipotetycznym rozwiązaniem równania (1), przy czym nie wszystkie wielomiany są stałe oraz (co możemy założyć) nie mają wspólnego dzielnika wielomianowego dodatniego stopnia. Jeśli to mamy tożsamość algebraiczną

z której po podstawieniu i pomnożeniu obu stron przez otrzymujemy

Nasze hipotetyczne wielomiany spełniają więc równanie

Ponieważ czynniki po prawej stronie są parami względnie pierwsze, więc z jednoznaczności rozkładu wielomianów na czynniki wynika, że istnieją takie wielomiany że

Po rozwiązaniu pierwszych dwóch z powyższych równań względem oraz i podstawieniu tych wartości do trzeciego równania otrzymujemy po uproszczeniach

Ponieważ z liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki dowolnych stopni, więc powyższą równość można zapisać jako

gdzie największy ze stopni wielomianów jest razy mniejszy niż największy ze stopni wielomianów To postępowanie można kontynuować, ale to oczywista sprzeczność! Przeprowadzone rozumowanie ilustruje słynną metodę regresji: za pomocą hipotetycznego rozwiązania konstruujemy rozwiązanie w pewnym sensie mniejsze i to prowadzi do sprzeczności. W rozważonym przykładzie mielibyśmy nieskończony ciąg wielomianów o ściśle malejących dodatnich stopniach! Metodę tę stosowano z pewnym powodzeniem również do przypadku liczbowego, chociaż pojawiają się tu już dość szybko fundamentalne trudności i, jak pokazała historia, nie udało się ich do końca przezwyciężyć.

Wielkie sukcesy uzyskał jednak Ernst Eduard Kummer w połowie XIX wieku. Rozważał on mianowicie pierścień gdzie jest rozważanym wykładnikiem i zakłada się, że jest liczbą pierwszą nieparzystą. Do pierścienia należą liczby zespolone postaci gdzie to zwykłe liczby całkowite. W przypadku, gdy w pierścieniu rozkład na czynniki nierozkładalne jest jednoznaczny, nierozwiązalność równania (1) można uzyskać w podobny sposób jak wyżej dla wielomianów. Pewne komplikacje związane ze skutecznym przeprowadzeniem regresji związane są z istnieniem w pierścieniu nietrywialnych elementów odwracalnych, tzn. takich elementów że dla pewnego Za trywialne uznajemy elementy postaci ; oczywiście są one odwracalne. Dla istnieją również elementy odwracalne które nie są pierwiastkami z jedności. Na przykład dla przyjmijmy Mamy wówczas

a więc jest odwracalny i, co łatwo wykazać, nietrywialny. Niestety, dla w pierścieniu nie ma jednoznaczności rozkładu na elementy nierozkładalne, a oto przykład dla Niech Mamy

Zatem liczba dzieli się przez mimo tego, że nie dzieli żadnego z czynników poprzedniego iloczynu. Ponadto można wykazać, że liczba jest nierozkładalna w a więc w nie ma jednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne! Brak jednoznaczności rozkładu na czynniki to największa trudność, którą należy pokonać, adaptując metodę regresji. Genialny pomysł Kummera polegał na wprowadzeniu do rozważań nowych obiektów, tzw. liczb idealnych i wykazaniu, że każda liczba z rozkłada się w jednoznaczny sposób na iloczyn liczb idealnych. Używając współczesnego języka (wprowadzonego przez Dedekinda), zbiory liczb z podzielnych przez daną liczbę idealną Kummera to po prostu ideały pierwsze pierścienia - stąd zresztą ich nazwa! Miarą niejednoznaczności rozkładu na poziomie liczb jest tzw. grupa klas ideałów pierścienia której definicji tu nie podamy. Nadmienimy tylko, że Kummer udowodnił, między innymi, następujące twierdzenie.

Metody wypracowane przez Kummera, Dedekinda i innych dały początek algebraicznej teorii liczb, ważnemu działowi matematyki współczesnej. Grupa klas ideałów i grupa elementów odwracalnych są bardzo blisko spokrewnione z funktorami oraz algebraicznej K-teorii - nowoczesnego działu współczesnej matematyki, który próbuje łączyć algebrę i geometrię na wysokim i abstrakcyjnym poziomie.

Trzeba zmierzać do końca tej historii i dlatego muszę przemilczeć wiele ciekawych częściowych rezultatów uzyskanych przed rokiem 1983. W tymże roku Gerd Faltings udowodnił hipotezę Mordella o tym, że na każdej krzywej rodzaju większego od 1 istnieje co najwyżej skończenie wiele punktów wymiernych. Wynika stąd, że dla równanie (1) ma co najwyżej skończenie wiele nieproporcjonalnych rozwiązań.

To oczywiście wspaniały wynik, ale przecież nie tego oczekiwał Fermat. Na szczęście historia nabrała tempa, gdy w 1986 roku Gerhard Frey związał z hipotetycznym rozwiązaniem równania (1) następującą krzywą eliptyczną

Wyróżnik tej krzywej wynosi i to nasunęło Freyowi przypuszczenie, że taka krzywa w ogóle nie powinna istnieć - to oczywiście zakończyłoby dowód WTwF! Pomysł okazał się trafiony, ale szczegóły dopinało wielu wybitnych matematyków. I tak Jean-Pierre Serre sformułował precyzyjnie przypuszczenie Freya, a Ken Ribet wyprowadził je w tym samym roku ze słynnej hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila o tym, że każda krzywa eliptyczna o współczynnikach wymiernych jest modularna. Tę właśnie hipotezę udowodnił Andrew Wiles w 1995 roku z pomocą swojego ucznia Richarda Taylora dla tzw. krzywych półstabilnych - klasa tych krzywych obejmuje krzywe typu Freya i to kończy dowód WTwF. Artykuł zakończymy omówieniem pojęcia krzywa eliptyczna modularna. Jest wiele sformułowań tej własności - wybieramy wersję arytmetyczną. Z każdą krzywą eliptyczną

i liczbą pierwszą można związać kongruencję

Niech oznacza liczbę rozwiązań tej kongruencji modulo Helmut Hasse udowodnił w 1933 roku hipotezę Artina głoszącą, że

Wynika z niej natychmiast, że rozwiązania kongruencji istnieją dla dostatecznie dużych Jest to satysfakcjonujący rezultat ilościowy, ale być może o liczbie można powiedzieć coś więcej, niż tylko to, że jest mniejsza od Okazuje się, że tak! Przyjrzyjmy się najpierw krzywej

Bardzo łatwo wykazać, że jeśli to Dużo trudniej zauważyć, że dla też istnieje dość zwarty i dość jednolity wzór na liczbę Mianowicie liczbę przedstawiamy w postaci gdzie są dodatnie, przy czym jest nieparzysta ( zaś parzysta). Jak wiadomo, takie przedstawienie liczby pierwszej zawsze istnieje i jest dokładnie jedno - jest to twierdzenie Fermata (ani małe, ani wielkie, ale wspaniałe). Wówczas dane jest następującym wzorem

Krzywa eliptyczna należy do dość wąskiej klasy krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym - odwzorowanie przeprowadza punkty krzywej na punkty krzywej. Niewiele krzywych ma tego typu algebraiczne "symetrie".

Rozpatrzmy teraz typową krzywą eliptyczną (bez mnożenia zespolonego)

oraz, jak wyżej, odpowiednie kongruencje modulo różne liczby pierwsze Okazuje się, że ciąg liczb można uzyskać w następujący sposób. Rozważmy iloczyn funkcyjny

przy czym dla uproszczenia pomińmy kwestię zbieżności. Jeśli zapiszemy teraz powyższy iloczyn formalny jako szereg formalny

to okazuje się, że dla każdej liczby pierwszej zachodzi równość a więc znowu otrzymaliśmy "wzór" na Hipoteza Taniyamy-Shimury-Weila przewidywała właśnie, że tego typu "wzór" na można podać dla każdej krzywej eliptycznej o współczynnikach wymiernych. Znaczenie twierdzenia o modularności znacznie wykracza poza zastosowanie do dowodu WTwF. Daje ono, na przykład, fundament do ścisłego sformułowania hipotezy Bircha-Swinnertona-Dyera, która nadal jest jednym z problemów milenijnych. Do tych zastosowań trzeba przywołać sformułowania bardziej geometryczno-analityczne od stosowanych w tym tekście.

Na koniec odnieśmy się do słynnej myśli wypowiedzianej przez Leopolda Kroneckera, że liczby całkowite stworzył Bóg, a reszta jest dziełem człowieka. Historia WTwF doskonale ilustruje starą prawdę, że jeśli chcemy się czegoś dowiedzieć (pozornie prostego!) o bardzo prostych obiektach, musimy wyjść ze świata tychże obiektów i mieć nadzieję, że wzbogacona w ten sposób perspektywa pozwoli nam dostrzec te powiązania, które nie były widoczne z bliska. Do lat osiemdziesiątych XX wieku to wyjście z raju liczb naturalnych było bardzo ograniczone - cały czas obracano się w świecie liczb algebraicznych i ich rozkładów na czynniki. Pomysł Freya wyrwał badaczy WTwF z zaklętego kręgu liczb, a świat krzywych eliptycznych i form modularnych okazał się wystarczającym wzbogaceniem ubogiego i jakże błahego kontekstu WTwF.