Drobiazgi

Choć proste to nieproste

Starożytni Egipcjanie sprzed 4000 lat uznawali tylko ułamki proste, czyli takie, które w liczniku miały jedynkę. Oczywiście, były też inne ułamki, ale o nich uczeni mówić nie chcieli – przedstawiali je jako sumę ułamków prostych. Nie byłoby w tym niczego nadzwyczajnego, gdyby nie pretensjonalne wymaganie, aby w owej sumie każdy ułamek był inny.

Czy każdy ułamek da się przedstawić jako suma różnych ułamków prostych? Tak, jest nawet bardzo prosty algorytm, pozwalający to zrobić: od ułamka należy odejmować największy jak się da ułamek prosty.

Zobaczmy to na przykładzie rozkładu $\text{[math]}$ :

$pict$

Zatem $\text{[math]}$

Patrząc na te rachunki, widzimy, że przy naszym algorytmie w każdym kroku licznik maleje o 1 (Czytelniku, udowodnij to!). Stąd widać, że algorytm ma własność stopu – jeśli w liczniku było $\text{[math]}$ to taki rozkład (a mogą być inne?) będzie zawierał co najwyżej $\text{[math]}$ ułamków prostych.

Dla $\text{[math]}$ algorytm daje rozkład $\text{[math]}$ ale dobrym rozkładem jest też $\text{[math]}$

Widzimy jednak, że w pewnym momencie coś się skróciło i ułamków było mniej – nie 9, a tylko 4. I to się zdarza bardzo często już nawet dla małych liczników, np.

$pict$

czyli $\text{[math]}$

Badacze ułamków prostych, obserwując ich zachowanie, postawili ważne, do dziś nierozstrzygnięte pytanie:

Problem (Erdős–Straus). Czy każdy ułamek $\text{[math]}$ jest sumą trzech różnych ułamków prostych?

Andrzej Schinzel zaryzykował natomiast niepotwierdzoną dotychczas hipotezę:

Hipoteza. Dla dowolnego $\text{[math]}$ istnieje takie $\text{[math]}$ że dla dowolnego $\text{[math]}$ ułamek $\text{[math]}$ jest sumą trzech różnych ułamków prostych.

Czytelniku – do roboty!