Spróbujmy sformułować powyższe zagadnienie jako problem matematyczny. Załóżmy, że chodnik jest zbudowany z płyt w kształcie prostokątów, każdy o długości 1 m. Kolejne płyty są oddzielone wąskimi przerwami. Aby podkreślić fakt, że przerwy są rzeczywiście wąskie, ich szerokość oznaczymy przez Załóżmy teź, że przed rozpoczęciem spaceru stoję w ten sposób, iż czubki moich butów dotykają przerwy między płytami. Aby uniknąć niejednoznaczności w definicji „następowania na linię”, wyrażę ją w ścisły sposób: następuję na linię tylko wtedy, gdy czubek mojego buta dotyka jednej z przerw o szerokości Pytanie: czy mogę tak dobrać długość mojego kroku, aby nie następować na linie?

Oczywiście, jest wyborem najgorszym z możliwych: w tej sytuacji następuję na każdą linię. Większe liczby naturalne wcale nie są lepsze: w każdym kroku będę następował na linię. Żadna z liczb wymiernych nie jest również dobrym wyborem: gdy będzie to po każdych krokach również powtarza się poprzedni przypadek. A co stanie się, gdy wybiorę niewymierne, np. ?

Aby uprościć rozważania, wyobraźmy sobie, że chodnik zwinęliśmy jak dywan.

Teraz wygląda on jak okrąg, w którym wszystkie przerwy zajmują tę samą pozycję na obwodzie. Zaczynamy spacer. W czasie drogi zaznaczamy na okręgu kolejne ślady czubków butów.

Teraz robimy tak. Wybieramy liczbę naturalną spełniającą warunek Dzielimy obwód naszego okręgu na równych łuków, każdy o długości  m.

Ponieważ liczby są niewymierne, żadna z nich nie wypadnie na punkcie podziału. Jak wynika z zasady szufladkowej Dirichleta, istnieją punkty które leżą na tym samym łuku o długości mniejszej niż Wobec tego punkty dają podział całego okręgu i to taki, że dwa dowolne, kolejne punkty są odległe o mniej niż W końcu jedna para punktów musi trafić w przerwę.

W ten sposób dowiedliśmy, że jakiekolwiek wybierzemy zawsze musimy następować na jakieś linie.

Powyższa obserwacja ma wiele ciekawych zastosowań. Zachęcamy Czytelników do udowodnienia na przykład, że dowolny skończony ciąg cyfr może pojawić się jako początek dziesiętnego zapisu pewnej potęgi dwójki.