Zaczniemy od sformułowania ciekawego problemiku.

Zadanie to (i różne jego warianty) można odnaleźć w wielu miejscach, np. w artykule Zbigniewa Marciniaka Spacerujący matematyk ( Delta 7/1991) czy w słynnym podręczniku W.I. Arnolda Równania różniczkowe zwyczajne. Na ogół towarzyszą mu pewne wskazówki czy udowodnione fakty pomocnicze. Autor niniejszego tekstu nie zna jednak miejsca, gdzie wspomniane zadanie można znaleźć w towarzystwie kompletnego rozwiązania, takiego w stylu „kawę na ławę”. Spróbujmy temu zaradzić.

Na początek rozwiązanie rozpaczliwe: za pomocą ołówka i kartki papieru albo nieco nowszych wersji tego narzędzia (dobry kalkulator? komputer?) Wytrwały Czytelnik łatwo sprawdzi, że

Eksperymentując dalej można stwierdzić, na przykład, że siódemka jest pierwszą cyfrą liczb i (ale ma za pierwszą cyfrę ósemkę…). Strasznie to jednak niezdarny sposób.

Pora na rozwiązanie w miarę eleganckie, pozwalające na wyciągnięcie wielu wniosków. Na początek trzeba, oczywiście, zrozumieć, co to właściwie znaczy, że jest pierwszą cyfrą liczby Odpowiedź jest łatwa:  jest pierwszą cyfrą liczby wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego mamy Aby otrzymać prostszy, równoważny zapis, logarytmujemy te nierówności stronami (przy podstawie 10); daje to Ponieważ to jest częścią całkowitą liczby skąd ostatecznie

Żeby rozwiązać zadanie z początku artykułu, wystarczy teraz skojarzyć ze sobą kilka znanych faktów.

Rys. 1 Wyrazy ciągu to części ułamkowe kolejnych wielokrotności

Zanim podamy dowody lematów, popatrzmy na ich konsekwencje. Po pierwsze, z Lematu 2 zastosowanego dla wynika, że siódemka jest pierwszą cyfrą nieskończenie wielu potęg dwójki. Jeśli zastosujemy Lemat 2 dla pamiętając, iż to przekonamy się, że na początku zapisu dziesiętnego liczby mogą stać również dwie siódemki. Rozumując podobnie nietrudno stwierdzić, że na początku zapisu dziesiętnego liczby może wystąpić dowolny skończony ciąg cyfr: albo albo itd... Dla niedowiarków prezentujemy na końcu niniejszego artykułu kalendarz ważnych dat zestawionych z odpowiednimi potęgami dwójki.

Co więcej, prawdziwy jest także

Dla dowodu wystarczy zauważyć, że liczba jest niewymierna, i powtórzyć poprzednie rozważania.

Rys. 2 Weźmy okrąg o obwodzie 1. Linie prostą wyobraźmy sobie jako nitkę (nieskończenie cienką). Nawińmy tą „nitkęńa okrąg jak na szpulkę. Wówczas wszystkie punkty prostej odpowiadające liczbom całkowitym śkleją się"do jednego punktu na okręgu. Punkt ten będziemy oznaczać przez

Rys. 3 Długość łuku jest równa (łuk od punktu do trzeba prowadzić przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

Rys. 4 czyli s-ta iteracja jest obrotem o maleńki kąt (nie wiemy tylko, w którą stronę).

Rys. 5 Długość łuku pomiędzy punktami oraz jest równa Gdy rośnie, to punkty obiegają okrąg dookoła; na każdym okrążeniu przynajmniej jeden z nich wpada w „dziuręńa łuki

A dlaczego wśród pierwszych wyrazów ciągu utworzonego z pierwszych cyfr kolejnych potęg dwójki nie widać siódemek? Dlaczego ten zdradliwy ciąg wygląda na okresowy? Powód jest prosty: liczba

bardzo dobrze daje się przybliżyć liczbą wymierną 0,3, a dla ciąg jest okresowy. Dlatego właśnie po obejrzeniu kilkunastu początkowych wyrazów ciągu można nabrać niesłusznego przekonania, że ów ciąg ma okres 10 i siódemka w nim nie występuje, ósemka zaś pojawia się dość często.

W 1910 roku Wacław Sierpiński, Hermann Weyl oraz P. Bohl udowodnili niezależnie, że dla niewymiernego ciąg jest równomiernie rozłożony na odcinku Dokładniej, jeśli weźmiemy dowolne i i przez oznaczymy liczbę elementów zbioru to wówczas

(2)

Mówiąc obrazowo i niezbyt precyzyjnie, gdy długo chodzimy po okręgu długości 1 stawiając kroczki niewymiernej długości, to na każdą dziurę będziemy następować mniej więcej z częstością proporcjonalną do długości tej dziury.

Przetłumaczmy ten fakt na język potęg dwójki. Niech i oznaczają odpowiednio liczbę siódemek i ósemek wśród pierwszych wyrazów ciągu Z równości (2) wynika, że

zatem

Oznacza to, że obserwując odpowiednio długie fragmenty ciągu złożonego z pierwszych cyfr kolejnych potęg dwójki zobaczymy nieco więcej siódemek niż ósemek.

Wspomniany wynik Bohla, Sierpińskiego i Weyla oraz nasz fakcik o siódemkach i ósemkach są w istocie prostymi wnioskami z bardzo ogólnego i głębokiego twierdzenia ergodycznego G.D. Birkhoffa (pochodzącego z 1931 roku), ale to już zupełnie inna historia.

Kalendarz potęg dwójki