W jednej ze swoich pierwszych książek Mathematics, Magic and Mystery, przywoływanej już w tym numerze Delty, Martin Gardner pokazuje wiele magicznych chwytów matematycznych. Niektóre z nich, polegające na odgadywaniu ukrytej liczby, wywodzą się z następującej własności liczby 9:

Wynika stąd, że dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych  zachodzą równości oraz (dlaczego?).

Książka Gardnera mieści wiele trików opartych na tej własności. Tu będzie mowa o takim, który – o dziwo – u Gardnera się nie pojawił, choć bardzo do niego pasuje. Wymaga on nieco wprawy obliczeniowej, a może także trochę umiejętności aktorskich. Prosimy kogoś (nazwijmy kogosia, na przykład, Anią) o wybranie w myślach liczby trzycyfrowej; nazwijmy ją . Teraz prosimy Anię, by gdzieś na kartce (niewidocznej dla nas) dodała wszystkie liczby otrzymane przez permutację cyfr wybranej liczby – bez niej samej – i podała nam tylko otrzymaną sumę. Na przykład, gdyby Ania pomyślała liczbę 527, powinna teraz dodać liczby 572, 257, 275, 725, 752. Przyjmujemy, że cyfry są rozróżnialne, a więc np. liczba 333 też daje 5 dodatkowych permutacji cyfr. Co więcej, nie przeszkadza nam 0, nawet jeśli pojawi się na początku nowej liczby.

Po otrzymaniu sumy prosimy Anię, by skoncentrowała myśli na wybranej na początku liczbie i po chwili (pokrywając umiejętnościami aktorskimi niezręczną przerwę potrzebną na obliczenia pamięciowe) podajemy jej tę liczbę. Jak to możliwe? Zbadajmy całą sytuację.

Jeśli wymyśloną liczbą jest , to niech oraz . Rzecz jasna, znając , potrafimy podać liczbę  , jeśli tylko potrafimy obliczyć , gdyż wtedy .

Zauważmy, że

Widać, że znajomość liczby pozwoli wyznaczyć . Liczmy więc dalej:

co po krótkich obliczeniach daje , czyli . Tak więc reszta  z dzielenia przez 9 jest równa reszcie z dzielenia przez 9, czyli pierwiastkowi cyfrowemu . A ten pierwiastek możemy obliczyć, ponieważ znamy i wiemy, że .

Znajomość reszty  to nie wszystko, choć dużo. Mamy bowiem , a to oznacza, że może być równe ,  lub . Które z nich? Wróćmy do i rozpatrzmy te trzy możliwości:

Widzimy, że te możliwe wartości różnią się o prawie 2000 (co najmniej), znamy i wiemy, że . Pozwala to jednoznacznie wybrać odpowiednią z tych wartości. To pierwsza z nich, która jest większa od  .

Prześledźmy to na przykładzie liczby 527 wybranej przez Anię. Dowiadujemy się od niej, że .

Obliczamy , mnożymy przez 2 i znów obliczamy pierwiastek cyfrowy. Dostajemy .

Mnożymy: .

Pierwszą możliwą wartością jest i w rezultacie

wybraną liczbą jest .

Pozostaje jeden szkopuł: jak szybko obliczyć w pamięci pierwiastek cyfrowy? Otóż jest prosta i szybka metoda. W trakcie sumowania cyfr wybranej liczby  (na przykład, od lewej) zastępujemy każdą sumę częściową większą od 9 sumą jej cyfr. Zobaczmy to na przykładzie liczby 8742953 (symbol oznacza zastąpienie liczby dwucyfrowej sumą jej cyfr):

Tak więc . Trochę treningu i można iść na przyjęcie!

Zauważmy na koniec, że z własności pierwiastka cyfrowego można wyciągnąć interesujący wniosek. Jeśli w zapisie dziesiętnym pewnej wielokrotności liczby 9 brakuje jednej cyfry (i wiemy, że nie jest nią zero), łatwo możemy ją odtworzyć – jest nią ta cyfra, której brakuje pierwiastkowi cyfrowemu do 9, lub 9, gdy pierwiastkiem jest 9 (dlaczego?). Popatrzmy dla przykładu na liczbę 2308302, która jest wielokrotnością 9. Jeśli usunięto z niej cyfrę 8 i podano nam pozostałe cyfry (2, 3, 0, 3, 0, 2), obliczamy pierwiastek cyfrowy dowolnej liczby zbudowanej z tych cyfr, na przykład, i wiemy już, że brakującą cyfrą jest .

Niestety, tak dobrze nie jest, gdy pozwolimy, by usuniętą cyfrą było 0. W naszym przykładzie mamy , a to oznacza, że brakującą cyfrą może być 0 lub 9. Ale cóż, zgadywanie zawsze jest obarczone pewnym ryzykiem

tłumaczył Wiktor Bartol