Drobiazgi

Dobra dekada dla liczb pierwszych

Oto spektakularne wyniki z lat 1997–2009, dotyczące liczb pierwszych.

Wielomianowy test pierwszości

M. Agrawal, N. Kayal i N. Saxena podali w 2004 roku pierwszy deterministyczny algorytm weryfikujący, czy dana liczba naturalna $\text{[math]}$ jest pierwsza, w czasie wielomianowym, tzn. opisanym przez funkcję wielomianową od liczby cyfr liczby $\text{[math]}$ .

Twierdzenie 1. Istnieje deterministyczny test pierwszości o złożoności obliczeniowej $\text{[math]}$ przy dowolnym $\text{[math]}$ .

Długie ciągi arytmetyczne liczb pierwszych

P. Erdős w 1980 roku zaoferował $\text{[math]}$ dolarów za rozwiązanie następującego problemu.

Hipoteza 1. Każdy taki zbiór $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ zawiera ciąg arytmetyczny długości $\text{[math]}$ dla wszystkich $\text{[math]}$

B. Green i T. Tao, używając metod ergodycznych, udowodnili w 2008 roku tę hipotezę w przypadku, gdy $\text{[math]}$ jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych.

Twierdzenie 2. Dowolny zbiór $\text{[math]}$ o relatywnie dodatniej górnej gęstości, tzn. spełniający warunek

display-math

zawiera nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych dowolnej długości.

Pierwsze wartości wielomianów

A. Schinzel w 1958 roku sformułował następujące przypuszczenie.

Hipoteza 2. Niech $\text{[math]}$ będą wielomianami całkowitymi i nierozkładalnymi o najwyższych współczynnikach dodatnich. Jeśli dla każdej liczby pierwszej $\text{[math]}$ zachodzi $\text{[math]}$ dla pewnego $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ są jednocześnie liczbami pierwszymi dla nieskończenie wielu $\text{[math]}$ .

Hipotezę 2, w przypadku jednego wielomianu liniowego, rozstrzyga twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych. Udowodnione zostały także, metodami sita, następujące twierdzenia.

Twierdzenie 3 (Fouvry, Iwaniec 1997). $\text{[math]}$ są jednocześnie liczbami pierwszymi dla nieskończenie wielu $\text{[math]}$

Twierdzenie 4 (Friedlander, Iwaniec 1998). $\text{[math]}$ jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu $\text{[math]}$

Twierdzenie 5 (Heath-Brown 2001). $\text{[math]}$ jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu $\text{[math]}$

Małe odstępy pomiędzy liczbami pierwszymi

D.A. Goldston, J. Pintz i C.Y. Yıldırım udowodnili w 2009 roku, metodami sita Selberga, następujące twierdzenie.

Twierdzenie 6. Niech $\text{[math]}$ będzie $\text{[math]}$ -tą z kolei liczbą pierwszą. Wówczas

display-math