Czworokąty bliźniacze

Przypuśćmy, że dane mamy dwa czworokąty wypukłe $ABCD$ i $∗ ∗ ∗ ∗ A B C D$ takie, że każdemu bokowi jednego odpowiada pewien równoległy doń bok drugiego, a każdej przekątnej - równoległa przekątna. Na pierwszy rzut oka wydawać by się mogło, że takie czworokąty muszą być podobne, jest jednak druga możliwość - wówczas czworokąty te są bliźniacze...

Dokładna definicja tego określenia jest następująca: czworokąty wypukłe $|ABCD$ i $A | ∗B ∗C∗ D$ nazwiemy bliźniaczymi, jeśli spełnione są dwa warunki:

?A + ?A ∗= ?B + ?B ∗= ?C + ?C∗ = ?D

oraz

∗ ∗ ∗ ?A E B = ?AEB,

gdzie punkty $E$ i $E ∗$ są odpowiednio przecięciami prostych $|AC$ i $BD |$ oraz $|A ∗C∗$ i $|B∗D$ (Rys. 1). Wówczas będziemy pisać $ABCD |$ Taka definicja par czworokątów bliźniaczych jest "porządna", to znaczy: dla każdego czworokąta wypukłego $W$ istnieje dokładnie jeden, z dokładnością do podobieństwa, czworokąt do niego bliźniaczy $W∗.$ Dodatkowo czworokąt bliźniaczy do czworokąta $W∗$ to po prostu czworokąt $|W.$

Spójrzmy na dwie konstrukcje czworokąta bliźniaczego dla danego czworokąta $|ABCD.$

Konstrukcja 2. Rozważmy inwersję o środku w punkcie przecięcia przekątnych $AC$ i $BD. |$ Niech obrazami punktów $A, | B,C,D$ w tej inwersji będą odpowiednio punkty $A ∗,B ∗,C∗ ,D$ (Rys. 3). Wówczas $∗ ∗∗ |A B CD$

Sprawdzenie, wprost z definicji, że powyższe pary czworokątów są istotnie bliźniacze, pozostawiamy Czytelnikowi.

W geometrii rozważane są przeróżne układy współrzędnych. Układ współrzędnych kartezjańskich, przypisanie punktom płaszczyzny liczb zespolonych, ale też układy odniesienia względem trójkąta: współrzędne barycentryczne czy trzyliniowe (wyrażające stosunki odległości punktu od boków ustalonego trójkąta). My będziemy rozważać jeszcze inny układ współrzędnych, w odniesieniu do czworokąta. Niech dany będzie czworokąt $ABCD$ oraz punkt $P | ,$ wtedy współrzędnymi kątowymi punktu $|P$ względem czworokąta $ABCD$ nazwiemy czwórkę:

wk(P,ABCD)

Okazuje się, że tak zdefiniowane współrzędne kątowe mają wiele wspólnego z czworokątami bliźniaczymi. Dokładniej mówi o tym następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. Jeśli $ABCD$ to dla każdego punktu $P$ istnieje taki punkt $|P ,$ że $|wk(P,ABCD)$

Dowód. Rozważmy antyinwersję $|AItE,$ gdzie $t | = AE ⋅CE.$ Łatwo zauważyć, że $AItE(C) = A$ oraz $AItE(A) = C.$ Oznaczmy $|AIt (B) = B∗,AIt (D) E E$ oraz $AIt (P ) = P ∗ E$ (Rys. 4). Na mocy prawdziwości Konstrukcji 2 czworokąty $|ABCD$ i $∗ CB | AD$ są bliźniacze. Niech $|ω1$ i $|ω2$ będą odpowiednio okręgami opisanymi na trójkątach $|∆ACP$ i $BDP |∆$ niech punkt $Q$ będzie drugim przecięciem okręgów $|ω 1$ i $ω. 2$ Wykażę, że szukanym punktem $P$ jest punkt $AIt (Q) E$

Wystarczy uzasadnić, że

(1)?DPA

(1)

gdyż pozostałe do sprawdzenia równości są analogiczne. Ponieważ $|PE ⋅EP ∗= QE ,$ więc punkty $P ∗$ i $|Q$ leżą na okręgu $|ω. 1$

Na mocy Własności 1 (patrz przypis) wystarczy zatem wykazać, że proste $|Q$ i $PD$ przecinają się na okręgu $ω. 1$ To zaś, ponownie na mocy Własności 1, jest równoważne równości

∗ ?P PD

(2)

Niech $|P′$ będzie drugim przecięciem prostej $P ∗P$ z okręgiem $t |ω3 = AI E(ω2).$ Ponieważ okrąg $ω3$ przechodzi na okrąg $ω2$ w pewnej jednokładności o środku w $E$ (co wynika z definicji inwersji), więc proste $|DP$ i $B |∗P ′$ są równoległe, stąd

?P ∗PD

(3)

Ponieważ punkty $∗ ′ P ,P ,Q$ i $∗ B |$ leżą na jednym okręgu, to na mocy Własności 1 zachodzi

?P ∗P′B∗ = ?P ∗Q

(4)

Równości (3) i (4) implikują (2), więc również (1), co kończy dowód.

W dowodzeniu kolejnych twierdzeń przyda nam się następujące stwierdzenie, które jest w pewnym sensie odwróceniem Twierdzenia 1. Jego dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

Stwierdzenie. Jeśli kąty w odpowiadających wierzchołkach czworokątów $|ABCD$ i $∗ ∗∗ A | B CD$ sumują się do 180 stopni oraz istnieją takie punkty $|P$ i $P ,$ że $wk(P ,ABCD)$ to czworokąty te są bliźniacze.

Wyposażeni w przedstawione narzędzia możemy udowodnić poniższe Twierdzenia 2 i 3. Czytelnika Dociekliwego zachęcamy do samodzielnego zmierzenia się z tymi twierdzeniami przed przeczytaniem zamieszczonych dowodów. Można spróbować uzasadnić je bez powoływania się na Twierdzenie 1 (takie dowody są przedstawione w pełnej wersji mojej pracy Czworokąty bliźniacze.

Twierdzenie 2. Jeśli $|ABCD$ oraz w czworokąt $|ABCD$ da się wpisać okrąg, to w czworokąt $|A ∗B ∗C∗ D$ też da się wpisać okrąg.

Niech $|I$ i $|I∗$ będą środkami okręgów wpisanych w $ABCD$ i $∗ ∗∗ A | B C1 D$ Zauważmy, że

?AIB = 180○ − A-− B 2 2

oraz

∗ ∗ ?C1 I D

zatem ponieważ $A + B+ C +D$ to $?AIB = ?C∗I∗ D 1$ W tej sytuacji punkty $I$ i $∗ I$ mają takie same pierwsze współrzędne kątowe odpowiednio względem czworokątów $|ABCD$ i $C1 ∗D1$ Analogicznie możemy dowieść, że pozostałe trzy współrzędne też są takie same, zatem $|wk(I,ABCD)$ skąd na mocy Stwierdzenia wnioskujemy, że $ABCD$ Zgodnie z założeniami mamy $|ABCD$ zatem czworokąty $A ∗B∗C∗ D$ i $|A ∗B ∗C∗1 D1$ są podobne, skąd łatwo wywnioskować, że $|C∗1 = C∗$ i $D1$ a to kończy dowód.

Twierdzenie 3. Jeśli $ABCD$ oraz proste $|AC ∗,CA ∗$ i $|BD$ są współpękowe, to przez ich punkt przecięcia przechodzi prosta $|DB$

Dowód. Niech punkt $P$ będzie przecięciem wyżej wymienionych trzech prostych. Załóżmy ponadto, że $|P$ nie leży na okręgu opisanym na trójkącie $∗∗ A CD$ (dowód w przeciwnym przypadku jest raczej techniczny i mniej ciekawy).

Rozważmy taki punkt $P ,$ by

wk(P ,ABCD)

(5)

(istnienie takiego punktu gwarantuje nam Twierdzenie 1). Ponieważ proste $|AC ∗,CA ∗$ i $BD$ są współpękowe, to zachodzą równości kątów

?C∗ P D

one zaś implikują, że czworokąty $PD$ i $|PC∗ A ∗P$ są wpisane w okręgi. Ponieważ czworokąt $PD$ nie jest wpisany w okrąg, więc $|P = P$ lub $|P = C∗ .$ W analogiczny sposób możemy jednak udowodnić, że $P = P$ lub $P = A ∗$ (role punktów $A | ∗$ i $C ∗$ są symetryczne), zatem musi być $P = P .$ Z (5) wynika zatem, że $?A ∗PB∗ = ?CPD,$ z tego zaś mamy, że punkty $D,$ i $∗ B$ są współliniowe, więc teza zachodzi.

Na zakończenie pozostawiamy dla Czytelnika dwa zadania, które da się rozwiązać, wykorzystując czworokąty bliźniacze - rozwiązania te można znaleźć w pełnej wersji mojej pracy zgłoszonej na Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego. Pierwsze z nich zostało przedstawione na stronie www.gogeometry.com jako problem 1351, bez znanego geometrycznego dowodu; to właśnie ono było dla mnie motywacją do napisania pracy. Drugie zadanie jest zadaniem autorskim, powstałym w trakcie badania czworokątów bliźniaczych.

Uwaga końcowa. Jak już nadmieniłem we wstępie, czworokąty bliźniacze na płaszczyźnie da się narysować w taki sposób, by ich odpowiadające boki i przekątne były równoległe. Można się zastanowić, czy istnieją inne pary $|n$ -kątów o tej własności, że da się je narysować w taki sposób, by ich odpowiadające sobie boki i przekątne były do siebie równoległe oraz by $|n$ -kąty te nie były do siebie podobne. Dla $n = 3$ oczywiście taka para nie istnieje, z kolei przykład dla $n = 5$ przedstawiony jest na marginesie. Potrafię udowodnić, że takich par jest stosunkowo mało, w szczególności nie dla każdego $n$ -kąta istnieje tak zdefiniowany $n$ -kąt bliźniaczy. Zachęcam Czytelnika do próby znalezienia odpowiedzi na to pytanie!