Deltoid

Łuki Talesa

Delta, wrzesień 2017

o artykule ...

Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Odcinek $AB$ widać z punktu $C$ pod kątem $ﬀ$ , gdy $?ACB = ﬀ:$ Z twierdzenia o kątach wpisanych wynika, że jeśli punkty $C$ i $D$ leżą na okręgu po tej samej stronie jego cięciwy $AB;$ to widać ją z $C$ i $|D$ pod tym samym kątem (Rys. 1).

Dla danego odcinka $AB$ i kąta $(0 |α ∈ ○,180○)$ zbiór punktów płaszczyzny, z których widać $AB$ pod kątem $α$ to dwa przystające łuki okręgów jak na rysunku 2, zwane łukami Talesa. Ponadto z punktów na zewnątrz łuków odcinek $AB$ widać pod kątem mniejszym od $, α$ a z punktów wewnątrz - pod większym.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Łuki Talesa»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Rozstrzygnij, czy istnieje takich 100 punktów na płaszczyźnie, z których każde trzy są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego.

Rozwiązanie

Wybierzmy 100 punktów na półokręgu bez końców. Wówczas dla dowolnej trójki z nich odcinek utworzony przez dwa skrajne widać ze środkowego pod kątem rozwartym (wpisanym w okrąg i opartym na łuku dłuższym od półokręgu).

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Łuki Talesa»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Podziel kwadrat na 8 trójkątów ostrokątnych.

Rozwiązanie

Na mniej niż 8 się nie da - dowód znaleźć można w Delcie 1/2002.

Rozwiązanie przedstawia rysunek. Pozostawiam Czytelnikowi sprawdzenie, że wszystkie trójkąty istotnie są ostrokątne. Pomocny bywa fakt, że ich wierzchołki są na zewnątrz odpowiednich półokręgów (czyli łuków Talesa dla kąta $90○$ ).

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Łuki Talesa»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Punkt $|H$ jest ortocentrum trójkąta ostrokątnego $|ABC.$ Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach $|ABH$ i $ACH |$ są przystające.

Rozwiązanie

Inne rozwiązanie opisano w deltoidzie 9/2012. Teza zachodzi także dla trójkąta rozwartokątnego.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Łuki Talesa»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017
Zadanie 4 jest modyfikacją zadania z XXV Olimpiady Matematycznej. Więcej o nim m.in. w Delcie 5/1986.

Rozwiązanie

Jeśli postulowana w zadaniu prostopadłość ma miejsce, to punkty $|C$ i $D, |$ a więc też trójkąty $ABC |$ i $ABD, |$ są symetryczne względem opisanej płaszczyzny, zatem przystające. Wykażemy, że tak być nie musi.

Niech punkty $A,| B, C, D$ leżą na jednym okręgu w tej właśnie kolejności, przy czym $AB CD,$ a $M$ to punkt przecięcia tych prostych. Wówczas trójkąty $ABC, ABD$ nie są przystające (mają różne wysokości na $|AB,$ więc też różne pola). Jednocześnie $?ACB | = ?ADB.$

Jeśli teraz obrócimy trójkąt $ABD$ wokół prostej $AB |$ o pewien dodatni kąt mniejszy od $|180 ○,$ otrzymamy czworościan $ABCD,$ w którym $|CM AB DM.$ Wobec tego prosta $|AB$ jest prostopadła do płaszczyzny $|CDM,$ a więc także do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. Stąd $|AB CD$ także po opisanym obrocie. Uzyskaliśmy więc czworościan $|ABCD$ spełniający warunki zadania, w którym trójkąty $ABC |$ i $ABD |$ nie są przystające.

Zadania domowe

Polecam też zadanie 7 z deltoidu 7/2016.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Łuki Talesa»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Skonstruuj trójkąt $|ABC,$ mając dane punkty $A, |$ kąt przy wierzchołku $|C$ oraz długość środkowej $CM.$ Ile rozwiązań może mieć to zadanie?

Wskazówka

Zadanie może mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Łuki Talesa»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Punkty $|A$ i $B |$ należą do wnętrza kąta ostrego $α.$ Skonstruuj taki trójkąt równoramienny, aby punkty $A$ i $B |$ należały do różnych jego ramion, aby podstawa tego trójkąta była zawarta w jednym z ramion kąta $|α,$ a wierzchołek należał do drugiego z ramion.

Wskazówka

Odbij punkt $A$ symetrycznie w jednym z ramion kąta, otrzymując $|A$ narysuj łuk Talesa dla odcinka $A$ i kąta $180○− 2α$ i rozważ odpowiedni jego punkt przecięcia z wybranym wcześniej ramieniem kąta.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Łuki Talesa»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Łuki Talesa
Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
Publikacja elektroniczna: 1 września 2017

Udowodnij stwierdzenia z drugiego akapitu niniejszego artykułu.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności