Drobiazgi

Od Pascala do Pitagorasa i dalej

Twierdzenie Pascala o równomiernym ciśnieniu gazu na ścianki naczynia pociąga za sobą twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie, czyli twierdzenie kosinusów.

Wyobraźmy sobie pudełko w kształcie trójkąta prostokątnego i o głębokości $|λ.$ Pudełko to jest położone poziomo i przymocowane w jednym z wierzchołków doskonałym łożyskiem do pionowej osi. Pudełko wypełniamy gazem, który prze na każdą ściankę. Parcie na górną i dolną jest jednakowe, więc one się znoszą. Jednak znosić się muszą i parcia na ścianki boczne. Przyjrzyjmy się im. Zgodnie z prawem Pascala mamy (Rys. 1)

u = aλ p, v = bλ p, w

Równość momentów tych sił to

a b c -aλ p+ --bλp = -cλ p, 2 2 2

czyli $a2 + b2 = c2.$

Dla trójkąta nieprostokątnego otrzymujemy (Rys. 2)

a b c --aλp = (a cos α − -) bλp + -cλp, 2 2 2

czyli $|a2 + b2 −2ab cosα = c2,$ a więc twierdzenie kosinusów.

Na tym przykładzie widać przewagę fizyki nad matematyką, bo z twierdzenia Pitagorasa, a nawet kosinusów, twierdzenia Pascala wyprowadzić się raczej nie da.