Pewne uogólnienie prostej Eulera

Panuje przekonanie, że w niemodnej obecnie dziedzinie geometrii klasycznej wszystko jest znane i nie pozostało nic do odkrycia. Kłam temu stwierdzeniu zadaje dość ciekawe i (jeszcze) mało znane twierdzenie, które przedstawiamy w niniejszym artykule. Warto zaznaczyć, że środki, jakie posłużyły nam do dowodu, są czysto geometryczne i nie korzystają z narzędzi analitycznych. Aby ułatwić jego zrozumienie, przedstawiamy najpierw pewne pojęcia, definicje i bardziej znane fakty powiązane z tym zagadnieniem.

Definicja. Trójkątem spodkowym punktu $|P$ wewnątrz trójkąta $ABC$ nazywamy trójkąt, którego wierzchołkami są rzuty prostokątne punktu $P|$ na boki trójkąta $|ABC.$

Wykażemy teraz, że dla każdego trójkąta spodkowego można wskazać pewien "stowarzyszony" z nim trójkąt spodkowy.

Lemat 1. Niech $P$ będzie dowolnym punktem wewnątrz trójkąta $|ABC,$ a $PaPbPc$ jego trójkątem spodkowym. Okrąg opisany na trójkącie $P P P a b c$ przecina boki $BC,$ dodatkowo w punktach $|Qa,$ Wtedy $QaQbQc$ też jest trójkątem spodkowym dla pewnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta $ABC. |$

Zauważmy, że na czworokątach $CPaPPb,|$ i $QaPaPbQb$ można opisać okręgi, a zatem

?P CPb

Analogicznie pokazujemy, że $|?PAPb$ i $?PBPa = ?QBQc,$ co oznacza, że punkty $|P$ i $Q$ są izogonalnie sprzężone w trójkącie $|ABC.$ Zauważmy też, że jeśli $P |$ nie jest środkiem okręgu wpisanego, to $|P ≠Q.$ Poniżej przedstawiamy pewną własność prostej przechodzącej przez punkty izogonalnie sprzężone w dowolnym trójkącie.

Dowód. Niech $|A1$ i $J = QaB1$ Wówczas na czworokącie $PaA1B1Pb$ można opisać okrąg. Ponadto z wcześniejszych rozważań wynika, że na czworokącie $|PaPbQbQa$ również można opisać okrąg. W tej sytuacji

?B1A1C

więc $A1B1$ Mamy również $|PA1$ (oba są prostopadłe do $|AC$ ), $PB1 | QQa$ (oba są prostopadłe do $BC |$ ), co oznacza, że trójkąty $|PA1B1$ i $QQbQa$ są jednokładne, zatem proste łączące odpowiadające pary wierzchołków przecinają się w jednym punkcie, skąd wnioskujemy, że $J$ należy do prostej $|PQ.$ Następnie, stosując twierdzenie Pappusa dla dwóch układów potrójnych punktów współliniowych $(Pa,A1,$ i $(Pb,B1,Qb)$ z uwagą, że $|P = PaB1 ∩ PbA1,$ i $J = QaB1$ wnioskujemy, że $|P,L,J$ są współliniowe. Wiemy więc, że $J$ leży na prostej $P Q,$ a $L |$ leży na prostej $P J,$ zatem $|L$ leży na prostej $PQ.$ Analogicznie dowodzimy, że punkty $M |$ i $N$ leżą na prostej $P Q,$ co kończy dowód lematu.

Rzutowanie punktu na boki to nie jedyny naturalny sposób na konstrukcję "nowego" trójkąta. Inny prezentuje poniższa definicja.

Definicja. Trójkątem Cevy punktu $R |$ leżącego wewnątrz trójkąta $|ABC$ nazywamy trójkąt $RaRbRc, |$ gdzie $Ra, Rb,Rc$ są punktami przecięcia prostych $|AR,$ odpowiednio z bokami $BC,$

Okazuje się, że dla trójkąta Cevy również prawdziwy jest fakt wykazany wcześniej dla trójkąta spodkowego.

Dowód. Zgodnie z twierdzeniem Cevy, skoro proste $ARa,$ przecinają się w punkcie $R,$ zachodzi

RaBR⋅bC--Rc⋅A---- = 1. RaC RbA RcB

Ponieważ $Ra,Rb, Sb,Rc,Sc$ i $|Sa$ należą do wspólnego okręgu, więc z twierdzenia o potędze punktu względem okręgu mamy

ARb

Stąd

SbA-= RcA-, ScB-= RaB-, i SaC-= RbC- ScA RbA SaB RcB SbC RaC

Podstawiając te wartości do pierwszego równania, otrzymujemy

SaBS⋅cA--- ⋅SbC-= 1. SaC ScB SbA

Ostatnia równość, zgodnie z odwrotnym twierdzeniem Cevy, dowodzi, że $ASa,$ i $CSc$ zbiegają się w jednym punkcie.

Powyższe rozważania pokazują, że dla każdego punktu $R |$ wewnątrz trójkąta $ABC$ istnieje dokładnie jeden "stowarzyszony" z nim punkt $|S,$ będący punktem przecięcia prostych $|ASa,$ i $CSc.$ Prostą przechodzącą przez te dwa punkty nazywamy osią Cevy. Niżej przedstawiamy ciekawą własność osi Cevy:

Stwierdzenie 2. Niech $|R$ i $S$ będą dwoma stowarzyszonymi punktami Cevy wewnątrz trójkąta $ABC$ i niech odpowiadają im trójkąty Cevy $|RaRbRc$ i $|SaSbSc.$ Niech $,Y X$ i $|Z$ będą odpowiednio punktami przecięcia prostych $SbRa$ i $|SaRb,RaSc$ i $RcSa$ oraz $|R S b c$ i $R S . c b$ Wówczas punkty $,Y,Z R,S, X$ są współliniowe (tworzą oś Cevy $RS$ ).

Dowód. Stosując twierdzenie Pappusa dla dwóch potrójnych układów punktów współliniowych $|(A,$ i $|(B,Sa,Ra)$ z uwagą, że $|S = ASa$ i $=SbRa∩SaRb X$ wnioskujemy, że $X$ leży na prostej $|RS.$ Analogicznie dowodzimy, że punkty $|Y$ i $Z$ leżą na prostej $RS,$ co kończy dowód lematu.

Nasze dotychczasowe zmagania dotyczyły dwóch trójkątów, spodkowego i Cevy. Z każdym z nich związaliśmy pewną oś, wskazując szczególne punkty, które się na niej znajdują. Jesteśmy już gotowi na to, by zająć się trójkątami, które są jednocześnie trójkątami spodkowymi i trójkątami Cevy.

Definicja. Jeśli spodkowy trójkąt punktu $P$ jest również trójkątem Cevy, to punkt $|P$ nazywamy czewiańskim punktem spodkowym (ang. pedal-cevian point).

Wiele właściwości tych punktów można znaleźć w pracach Darboux. Jednym z jego znanych wyników, uzyskanych metodami algebraicznymi, jest dowód, że czewiańskie punkty spodkowe ustalonego trójkąta tworzą tzw. krzywą trzeciego stopnia Darboux; jest ich zatem nieskończenie wiele.

Zapewne wśród osób zainteresowanych geometrią wiele nieraz miało do czynienia z zadaniami dotyczącymi czewiańskich punktów spodkowych. Przykładami takich punktów w dowolnym trójkącie są m.in. jego ortocentrum, środek ciężkości, środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego.

Chcielibyśmy teraz przedstawić pewną ciekawą własność czewiańskich punktów spodkowych. Nie udało się nam odnaleźć publikacji przedstawionego rezultatu, więc jest niemała szansa na to, że to wynik całkiem nowy. Niezależnie od słuszności naszych przypuszczeń, uważamy, że każdy miłośnik geometrii doceni jego elegancję!

Twierdzenie. Niech $PaPbPc$ będzie trójkątem spodkowym punktu $P$ wewnątrz trójkąta $ABC.$ Dodatkowo zakładamy, że $|AP$ przecinają się w punkcie $R.$ Wtedy punkty $|P,R$ i środek okręgu opisanego na $PaPbPc$ leżą na jednej prostej.

Dowód. Niech $D$ będzie środkiem okregu opisanego na $|PaPbPc$ i niech punkty $,NL,M$ będą zdefiniowane tak, jak w stwierdzeniu 1. Zgodnie z tym stwierdzeniem punkty te są współliniowe, a prosta przez nie przechodząca zawiera również punkty $P$ i $D$ (jest to oś trójkąta spodkowego dla punktu $P$ ). Prosta ta jest jednak również osią trójkąta Cevy punktu $|R,$ zatem zgodnie ze stwierdzeniem 2 przechodzi przez $R,$ co dowodzi współliniowości punktów $. |P,R, D$

Zastanówmy się, czym skutkować będzie powyższe stwierdzenie, jeśli za punkt $|P$ przyjmiemy środek okręgu opisanego na trójkącie $|ABC.$ Okazuje się, że wówczas okrąg opisany na punktach $|PaPbPc$ zawiera spodki wysokości trójkąta $|ABC$ - jest to słynny okrąg dziewięciu punktów. W tej sytuacji punkt $Q$ ze stwierdzenia 1 staje się ortocentrum trójkąta $|ABC,$ a punktem $R |$ z naszego twierdzenia jest, rzecz jasna, środek ciężkości trójkąta $ABC. |$ Pokazaliśmy więc współliniowość środka okręgu opisanego, środka okręgu 9 punktów, ortocentrum i środka ciężkości - geometryczni smakosze z łatwością rozpoznają w tym prostą Eulera.

Warto zaznaczyć, że prosta Eulera nie jest określona dla trójkąta równobocznego, a nasza oś $P | QRSD$ istnieje, o ile tylko nie przyjmiemy, że $|P = Q$ to środek okręgu wpisanego. Zachęcamy Czytelnika do poszukiwań innych ciekawych prostych, których istnienie gwarantowane jest przez podane przez nas twierdzenie!