Od kwadratu

Rozpatrzmy dowolny trójkąt oraz cztery kwadraty zbudowane w sposób przedstawiony na rysunku 1. Wówczas zaznaczone kolorem trzy odcinki, łączące odpowiednie wierzchołki kwadratów oraz środek najniższego kwadratu, przecinają się w jednym punkcie.

Tę ciekawą własność można znaleźć na stronie www.gogeometry.com/problem/ w dziale Open Geometry Problems (otwarte problemy geometryczne). Jest to zadanie nr 902 opublikowane 15 lipca 2013 r. W tym przypadku "otwarte" nie oznacza, że żaden dowód tej własności nie jest znany. Przy pewnej dozie zamiłowania do rachunków można zweryfikować słuszność tej zależności w układzie współrzędnych. Przez "otwarte" należy więc rozumieć to, że nie jest znany dowód geometryczny. Takie dowody często pozwalają lepiej zrozumieć fenomen danej własności, związki z innymi geometrycznymi konfiguracjami oraz otwierają drogę do ciekawych modyfikacji i uogólnień.

Tak jest i w tym przypadku. Geometryczny dowód prezentowanej własności przedstawię od razu w nieco ogólniejszej sytuacji.

Twierdzenie 1. Rozpatrzmy dowolny trójkąt $ABC$ oraz prostokąt $ABDE$ leżący po zewnętrznej stronie tego trójkąta (Rys. 2). Po zewnętrznej stronie prostokąta budujemy dowolny trójkąt $DEM.$ Oznaczamy:

α= ?DEM oraz β= ?EDM.

Następnie, po zewnętrznej stronie trójkąta $ABC$ budujemy takie trójkąty $|BCK$ i $ACL,$ że $○ ?BCK = ?ACL = 90 ,$

?CAL =α oraz ?CBK =β .

Wówczas proste $EK, DL$ i $CM$ przecinają się w jednym punkcie.

Własność z rysunku 1 jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia: wystarczy przyjąć, że $|ABDE$ jest kwadratem oraz że $|α =β = 45○.$

Z kolei przypadek $α = β$ daje zaskakujące uogólnienie zależności z rysunku 1: trzy zacieniowane prostokąty na rysunku 3 są podobne, podczas gdy czwarty prostokąt jest dowolny - jego kształt w żaden sposób nie jest związany z pozostałymi prostokątami!

Dowód twierdzenia 1. Oznaczmy przez $S$ punkt przecięcia prostych $|DL$ i $|KE$ (Rys. 4). Chcemy wykazać, że punkty $C, S$ i $|M$ leżą na jednej prostej.

Niech $P$ będzie rzutem prostokątnym punktu $|A$ na prostą $|LD.$ Wówczas punkt $P$ leży na okręgu $ω$ opisanym na prostokącie $|ABDE.$ Niech ponadto punkty $|G$ i $|H$ będą drugimi punktami przecięć odpowiednio prostych $EM$ i $|DM$ z okręgiem $ω.$ Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że oba punkty $G$ i $H$ leżą na tym łuku $DE$ okręgu $ω ,$ który nie zawiera punktów $A$ i $B.$ Rozumowanie w pozostałych przypadkach przebiega analogicznie.

Z równości $?APL = 90 ○= ?ACL$ wynika, że punkty $A, L,C$ i $P$ leżą na jednym okręgu. Wobec tego

?CPL = ?CAL =α = ?DEM = ?GPD,

skąd wniosek, że punkty $C, P$ i $|G$ leżą na jednej prostej.

Jeśli punkt $|M$ leży na okręgu $ω ,$ to $G = H = M$ i w konsekwencji $|P = Q = S.$ Wobec tego, skoro punkty $C, P$ i $G$ są współliniowe, to także punkty $| C, S$ i $| M$ są współliniowe.

Jeśli z kolei $M$ nie leży na okręgu $ω,$ to stosując twierdzenie Pascala dla sześciokąta $| GPDHQE,$ wnioskujemy, że punkty $|GP ∩ HQ = C,PD ∩ QE = S$ oraz $DH ∩ EG = M$ leżą na jednej prostej. To kończy dowód twierdzenia 1.

Przedstawione rozumowanie można bez większych kłopotów przenieść na znacznie ogólniejszą konfigurację. Do jej opisania potrzebne będzie nam pojęcie kąta skierowanego między prostymi.

Niech $|a$ i $b$ będą dowolnymi prostymi przecinającymi się w punkcie $O$ (Rys. 5). Kątem skierowanym między prostą $a$ i prostą $b$ nazywamy kąt, o jaki należy obrócić prostą $|a$ wokół punktu $O$ (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), aby otrzymać prostą $|b.$ Kąt ten oznaczamy symbolem $?(a, b).$

Zwróćmy uwagę na to, że wielkość $?(a, b)$ nie jest zdefiniowana jednoznacznie, a jedynie z dokładnością do $○ 180 .$ Pisząc zatem " $?(a, b) = α$ ", rozumiemy, że kąty stojące po obu stronach tej równości różnią się o pewną całkowitą wielokrotność kąta $180○.$

Następujące twierdzenie dobrze ilustruje powód, dla którego wprowadza się pojęcie kąta skierowanego między prostymi (Rys. 6):

Twierdzenie. Różne punkty $|A,B,C,D$ (nieleżące na jednej prostej) leżą na jednym okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy $?(AB, BC) = ?(AD, DC).$

Istotą tego sformułowania jest to, że punkty $A, B,C,D$ mogą być ułożone dowolnie - nie muszą być kolejnymi wierzchołkami czworokąta wypukłego (Rys. 7).

Twierdzenie. Rozpatrzmy dowolny trójkąt $ABC$ oraz okrąg $ω$ przechodzący przez punkty $|A$ i $B$ (Rys. 8). Niech $|D$ i $E$ będą punktami leżącymi na okręgu $ω,$ a $M$ dowolnym punktem. Oznaczmy:

$pict$

Punkty $K$ i $|L$ są wyznaczone przez warunki:

$pict$

Wówczas proste $EK, DL$ i $CM$ przecinają się w jednym punkcie (lub są równoległe).

Dowód twierdzenia 2 przebiega w pełni analogicznie do powyższego rozumowania, z drobną różnicą: punkt $P$ należy zdefiniować jako drugi punkt przecięcia prostej $LD$ z okręgiem opisanym na trójkącie $|ACL.$ Dalsza część rozumowania pozostaje bez zmian.

Na koniec przyjrzyjmy się pewnym szczególnym przypadkom twierdzenia 2.

Jeśli przyjmiemy $|α= γ,$ to czworokąt $|ABDE$ jest trapezem równoramiennym o podstawach $AB$ i $DE$ (Rys. 9). Uzyskujemy wtedy zależność, która jest uogólnieniem powszechnie znanej konfiguracji (nazywanej czasami twierdzeniem Jacobiego), gdy $A = E$ i $B = D.$

Ciekawy jest przypadek, gdy czworokąt $ABDE$ degeneruje się do trójkąta, tzn. gdy $A = E.$ Wtedy prostą $EA$ należy traktować jako styczną do okręgu opisanego na trójkącie $ABD,$ jak to ma miejsce w zdegenerowanych przypadkach twierdzenia Pascala. Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą uzyskujemy wówczas

α = ?(DE, EA) = ?(DB, BA),

co z pozostałymi równościami twierdzenia 2 daje komplet założeń w tym przypadku (Rys. 10).

Dowolność wyboru kątów $|α,β ,γ,δ$ oraz okręgu $ω$ daje swobodę w konstruowaniu wielu ciekawych własności geometrycznych, podobnych do tej z rysunku 1. Na okładce znajduje się kilka takich przykladów. Każdy z nich jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 2.