Prosto w środek

Przeciętny uczeń rozpoczyna podróż po fascynującym świecie geometrycznych konstrukcji uzbrojony w linijkę i kątomierz. Kiedy już nauczyciel uzna swojego podopiecznego za wystarczająco odpowiedzialnego, by nie rysował szkolnych ławek (jakże często zbyt naiwne założenie), uczeń dostaje do ręki kolejne narzędzie walki z czystą kartką papieru, jakim jest cyrkiel...

Wraz z nastaniem ery cyrklowej uczeń jest zdolny rysować w zeszycie całe mnóstwo okręgów o zadanym środku, czasem nawet mając w tym jakiś wyższy konstrukcyjny cel. Przykładem tego ostatniego mogłaby być operacja w pewnym sensie odwrotna - skonstruowanie środka okręgu, gdy mamy zadany jedynie sam okrąg. Chwila zastanowienia pozwala stwierdzić, że gdy jesteśmy wyposażeni w cyrkiel i linijkę, zadanie to nie stanowi większego wyzwania; wystarczy narysować dwie nierównoległe cięciwy okręgu, a następnie ich symetralne, których przecięcie wyznaczy nam, oczywiście, szukany środek (Rys. 1).

Schody pojawiają się, jeśli zazdrosny o nasze sukcesy kolega z ławki podprowadzi nam linijkę. Skarżenie nauczycielowi jest poniżej naszej godności, podobnie rozwiązanie tej kwestii po lekcjach na szkolnym podwórku, dlatego zaciskamy zęby i próbujemy wyznaczyć środek okręgu przy użyciu samego cyrkla. W rozwiązaniu przydatna okazuje się następująca konfiguracja geometryczna (Rys. 2): jeśli $SA$ punkt $O$ leży na odcinku $|SP$ i spełnia $AO$ natomiast dla punktu $|B$ zachodzą równości $|OB$ oraz $PB = PA,$ to wówczas $BP | = BS.$ Istotnie, zauważmy, że przy przedstawionych założeniach trójkąty $P SA$ i $PAO |$ są podobne (jako równoramienne trójkąty o tym samym kącie przy podstawie), dlatego korzystając z założonych równości, otrzymujemy

PB PA PO PO PS-= P-S = PA=- PB-.

Z powyższego i z zasady "bok-kąt-bok" wnioskujemy podobieństwo trójkątów $PSB$ i $PBO,$ a skoro ten ostatni jest równoramienny, to musi zachodzić $BP = BS.$ Przedstawioną obserwację można łatwo wykorzystać do dowodu poprawności niniejszej konstrukcji środka zadanego okręgu $o$ przy użyciu samego cyrkla. Dla skrócenia zapisu niech oznaczenie okręgu przez $oX$ niesie ze sobą informację, że $|X$ jest środkiem tego okręgu. Należy narysować kolejno:

wystarczająco duży okrąg $|oP$ (wystarczająco duży, czyli taki, dla którego $?APK$ ; można nietrudno sprawdzić, że w przeciwnym przypadku nie uzyskamy punktów $B$ i $|L$ z kroku 3), gdzie $P$ należy do okręgu $o$ ; niech $A$ i $K |$ będą punktami przecięcia $o |$ z $oP$ (Rys. 3),
okręgi $|o A$ i $o | K$ o promieniu $PA |$ ; niech $O$ będzie różnym od $|P$ przecięciem tych okręgów (Rys. 3),
okrąg $oO$ o promieniu $OP |$ i niech $B |$ i $L$ będą przecięciami nowego okręgu z $o P$ (Rys. 4),
punkt $S,$ będący przecięciem (różnym od $P$ ) okręgów $oB$ i $|oL$ o promieniu $|BP = LP$ (Rys. 4).

Tak skonstruowany punkt $S$ stanowi szukany środek okręgu $o.$ Istotnie, jeśli nieufnie oznaczymy ów środek przez $S′,$ to w trzecim kroku konstrukcji punkty $|S′ ,P ,A,$ tworzą konfigurację przedstawioną na rysunku 2 i w tej sytuacji okrąg $oB$ z punktu 4 przechodzi przez $′ |S.$ Analogicznie, przez $|S′$ przechodzi również $oL$ i dlatego $S = S′.$

Udało nam się utrzeć nosa niedobremu koledze i zachęceni tym dokonaniem, postanowiliśmy dokonać tej samej sztuki wyłącznie przy użyciu odzyskanej w glorii linijki. Początkowy entuzjazm prędko przeradza się jednak w niepokój, a wkrótce zaczynają się pojawiać oznaki paniki. Pomimo prężenia intelektualnych muskułów i dziesiątek prób dokonanych na kilkunastu wyrzuconych ostatecznie do kosza kartkach środek okręgu $o$ skutecznie unika namierzenia przez nasz nowy oręż. Po kolejnym nieudanym podejściu w naszej głowie pojawia się iskierka nadziei - może wszystkie niepowodzenia nie są kwestią naszej umysłowej niedyspozycji, a tego, że po prostu się nie da? Jak jednak mogłoby wyglądać uzasadnienie tego, że czegoś nie da się skonstruować przy użyciu samej linijki? Po chwili zastanowienia jedyne, co przychodzi nam do głowy, to pokazanie, że nawet jeśli pewien konstrukcyjny przepis sprawdzi się na jednym okręgu, polegnie na innym. Gdzie jednak należy szukać tego drugiego okręgu? Okazuje się, że na innej kartce!

Zamalujmy na przezroczystej kartce $p$ koło $κ$ ograniczone okręgiem $|o.$ Nad kartką $p$ umieśćmy punktowe źródło światła $S$ w taki sposób, by na pewno nie znajdowało się ono bezpośrednio nad środkiem okręgu $o.$ Pod kartkę $p$ podłóżmy równoległą do niej kartkę $q$ - nietrudno przekonać się, że koło $κ$ będzie rzucało na $q$ cień w kształcie koła. Wyobraźmy sobie teraz, że ze środka $o$ wystaje maszt i niech $A,$ będą punktami przecięcia okręgu $o$ z przedłużeniem cienia masztu. Między kartki $p$ i $|q$ wstawmy teraz na chwilę kartkę $r,$ prostopadłą do dwusiecznej kąta $|?ASB$ - wówczas $κ$ rzuca na $r$ cień w kształcie elipsy, której środek symetrii wyznaczany jest przez przecięcie $r$ ze wspomnianą dwusieczną (Rys. 5). W tej sytuacji, jeśli przymocujemy $S$ do punktów $A$ i $B |$ kartki $p$ i tak powstałą, sztywną konstrukcję obróćmy o $180○$ wokół dwusiecznej kąta $|ASB,$ to cień $κ$ na $r |$ nie ulegnie zmianie (Rys. 6). Ponieważ cień $|κ$ na $q|$ możemy traktować jako cień cienia $κ$ na $r,$ a ten ostatni się nie zmienił, więc koło $|κ$ w nowym położeniu również rzuca na $q$ cień w kształcie koła.

Przypuśćmy teraz, że udało się nam wyznaczyć środek okręgu $|o$ przy użyciu samej linijki. Poprośmy kolegę z ławki, by zastosował ten sam przepis dla cienia okręgu $|o$ na kartce $q.$ Ze względu na bogate doświadczenie w niesamodzielnej pracy kolega szybko zorientował się, że wystarczy wykonywać "cienie" operacji przeprowadzanych przez nas na okręgu $o.$ W tej sytuacji uzyskany przez niego kandydat na środek cienia okręgu $o$ okaże się cieniem skonstruowanego przez nas środka tego okręgu. Niestety, obaj nie możemy mieć racji, gdyż cień środka odcinka $|AB$ z pewnością nie jest środkiem cienia tego odcinka, do czego powinien przekonać nas rysunek 7. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie jesteśmy w stanie wyznaczyć środka okręgu, posługując się wyłącznie linijką. Nasze wcześniejsze konstrukcyjne niepowodzenia zostały więc usprawiedliwione - niemożność ma jednak swoje dobre strony.