Deltoid

MI = MB = MC

Delta, marzec 2015

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

Istnieje zaskakujący związek między okręgiem wpisanym w trójkąt i okręgiem na nim opisanym.

Twierdzenie. Dany jest trójkąt $ABC.$ Punkt $M |$ jest środkiem tego łuku $| BC$ okręgu opisanego, do którego nie należy punkt $A.$ Wówczas punkt $I |$ należący do odcinka $AM$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|MI = MB = MC.$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

MI = MB = MC»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu MI = MB = MC
Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

Skonstruuj trójkąt $|ABC,$ mając dany jego wierzchołek $A, |$ punkt $O |$ - środek okręgu opisanego i punkt $| I$ - środek okręgu wpisanego.

Rozwiązanie

Konstruujemy kolejno: okrąg o środku $O$ i promieniu $OA, |$ $| M$ - jego punkt przecięcia z prostą $| AI$ oraz okrąg o środku $|M$ i promieniu $I. |M$ Na mocy twierdzenia $(∗),$ punkty przecięcia powyższych dwóch okręgów to wierzchołki $B$ i $C$ trójkąta.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

MI = MB = MC»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu MI = MB = MC
Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

Rozwiązanie

Na mocy twierdzenia $(∗ )$ i założenia, zachodzi równość $|MC = MI = NJ = NC.$ Stąd $?MAC = ?NAC$ jako kąty wpisane w okrąg $Γ$ oparte na równych łukach. Wobec tego $| ?BAC = 2?MAC$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

MI = MB = MC»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu MI = MB = MC
Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $|ABC.$ Wykaż, że okrąg opisany na trójkącie $| BCI$ wyznacza na prostych $| AB$ i $| AC$ równe cięciwy.

Rozwiązanie

Środkiem okręgu opisanego na trójkącie $BCI$ jest punkt $M |$ z twierdzenia $(∗);$ leży on na dwusiecznej kąta $| BAC.$ Z symetrii problemu okrąg ten wyznacza więc na ramionach kąta równe cięciwy.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

MI = MB = MC»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu MI = MB = MC
Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC,$ punkt $J |$ jest środkiem okręgu dopisanego do tego trójkąta. Wykaż, że środek odcinka $|IJ$ należy do okręgu opisanego na trójkącie $ABC.$

Rozwiązanie

Niech $| J$ leży w kącie $| BAC.$ Dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe, więc $BI BJ$ oraz $CI CJ.$ Wobec tego na czworokącie $BJCI$ można opisać okrąg, którego środkiem jest środek $M$ odcinka $IJ. |$ Okrąg ten jest opisany na trójkącie $BCI,$ czyli $M |$ to punkt z twierdzenia $( |∗ ),$ leży więc na okręgu opisanym na trójkącie $| ABC.$

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

MI = MB = MC»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu MI = MB = MC
Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

W dany okrąg wpisz trójkąt $|ABC,$ mając dane jego wierzchołki $A, |$ oraz promień okręgu wpisanego.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

MI = MB = MC»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu MI = MB = MC
Publikacja w Delcie: marzec 2015
Publikacja elektroniczna: 01-03-2015

Wskazówka

Wykaż, że $≡ SID, | SAD$ gdzie $I$ to środek odcinka $E. |D$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności