O obrotach centrów trójkąta

Zająłem się ciekawym problemem dotyczącym centrów trójkąta. Ciekawym, bo łatwym do wyobrażenia, a w pewnych aspektach nawet bardzo trudnym.

Najpierw wyjaśnienie, dlaczego napisałem "centrów", a nie zwyczajnie "środków" - chodzi tu o wspólną nazwę dla wszelkiego rodzaju wyróżnionych punktów związanych z trójkątem. Właściwie każdy punkt można jakoś wyróżnić - np. Clark Kimberling wyróżnił i opisał ich kilka tysięcy w swojej Encyclopedia of Triangle Centers. Tutaj "z imienia i nazwiska" będą przywołane: środek okręgu wpisanego jako $|X1,$ środek ciężkości jako $X2,$ środek okręgu opisanego jako $|X3,$ ortocentrum jako $X4,$ środek okręgu Feuerbacha (czyli dziewięciu punktów) jako $| X5.$

Na początek rozważmy wszystkie trójkąty równoramienne o wspólnej podstawie $| AB$ z wierzchołkiem $| C$ w danej półpłaszczyźnie ograniczonej prostą $AB.$ Dla ustalenia uwagi wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, w którym $A| = (−1,0),B = (1,0),C= (0,t),$ $t > 0.$ Interpretując $|t$ jako czas, możemy powiedzieć, że wierzchołek $C$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 1 w górę, po symetralnej odcinka $AB.$ Po tej samej prostej poruszają się wymienione centra trójkąta $|ABC.$ Skupimy się na razie na $X2 |$ i $|X3.$ Póki $√ -- |t < 3,$ centrum $X3$ jest pod $X2.$ W chwili $√ -- t = 3,$ gdy trójkąt $|ABC$ staje się równoboczny, centrum $| X3$ dogania $| X2.$ Dla $| √ -- t > 3$ centrum $| X3$ wychodzi na prowadzenie i potem już cały czas jest ponad $X2.$ Nic dziwnego: w pogoni za $|X2$ centrum $X3$ rozwinęło większą prędkość, więc po nieuchronnym zrównaniu musiało je wyprzedzić. Centra $X1$ i $|X5$ w chwili zrównania mają te same prędkości i nie następuje zmiana lidera.

Zrezygnujmy teraz z założenia, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny, a niech trójkąt $| ABC0$ będzie równoboczny. Rozważmy problem: ile okrążeń wokół $Xi$ dokona centrum $X j,$ gdy wierzchołek $C$ jednokrotnie okrąży punkt $C0$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara (wierzchołki $A$ i $B |$ tkwią tam, gdzie poprzednio)? Z rozważań topologicznych (których nie będę tu przytaczał) wynika, że jeśli centra $| Xi$ i $| X j$ pokrywają się wyłącznie w trójkącie równobocznym, to odpowiedź na to pytanie nie zależy od konkretnego kształtu krzywej, po której wierzchołek $|C$ obiega punkt $| C0$ - możemy więc przyjąć, że krzywa ta jest okręgiem. Na małym okręgu wokół punktu $C0$ położonych jest dokładnie 6 punktów, z których każdy tworzy wraz z punktami $|A$ i $B |$ pewien trójkąt równoramienny. Dla tych sześciu punktów znamy kierunek wektora $−−−− XiX j .$ Nietrudno zgadnąć na tej podstawie, że $|X3$ obiegnie jednokrotnie $|X2$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, natomiast $|X5$ dwukrotnie okrąży $X1$ zgodnie z ruchem wskazówek.

Wydaje się, że trzy obroty wektora $−−−− XiX j$ wokół $Xi$ są wykluczone. Okazuje się jednak, że możliwe są cztery. W tym celu wskazałem odpowiednie dwa centra (inne od wymienionych - każdy może przecież zdefiniować swoje własne centra, nie ograniczając się nawet do encyklopedii Kimberlinga). Jak to zrobiłem, możesz dowiedzieć się tutaj, ale może najpierw sam spróbujesz?