Czytelnik może wyobrażać sobie  jako punkt „nieskończenie daleko”, ale równie dobrze może traktować go jedynie jako umowę notacyjną, która ułatwi sformułowanie pewnych zależności.

Kąt między krzywymi to kąt między stycznymi do nich w punkcie ich przecięcia.

Tak konstruuje się obraz punktu w symetrii względem prostej,

a tak względem okręgu.

Zacznijmy od zdefiniowania kąta między dwiema krzywymi: jeśli dwie gładkie krzywe się przecinają, to kątem między nimi nazwiemy kąt między stycznymi poprowadzonymi w punkcie przecięcia. W ogólności kąt ten może być różny dla różnych punktów przecięcia, tutaj jednak ograniczymy się wyłącznie do rozważania bloków. Dwa bloki mogą przecinać się w więcej niż jednym punkcie, ale wtedy otrzymany kąt nie zależy od jego wyboru; możemy więc śmiało mówić o kącie między dwoma przecinającymi się blokami. Gdy kąt ten jest prosty, figury nazywamy prostopadłymi. Na przykład, prosta jest prostopadła do okręgu dokładnie wtedy, gdy przechodzi przez jego środek.

Przypomnijmy dobrze znaną konstrukcję symetrii osiowej cyrklem i linijką. Aby dla danej prostej  i punktu  wyznaczyć punkt  do niego symetryczny, zakreślamy dwa okręgi przechodzące przez  i prostopadłe do prostej (czyli o środkach leżących na ). Wówczas punkt  otrzymujemy jako drugi punkt przecięcia tych okręgów. Oczywiście równie poprawne byłoby tutaj zastąpienie słowa okrąg słowem blok. Jedyną zmianą byłoby dopuszczenie prostej przechodzącej przez  i prostopadłej do – co prawda trudniej jest ją wytyczyć, ale przecież i ona przechodzi przez  Tak sformułowany opis konstrukcji motywuje do przeprowadzenia podobnej operacji w przypadku okręgu.

Jest jasne, że tak zdefiniowane przekształcenie jest samoodwrotne: obrazem obrazu dowolnego punktu jest on sam. Powyższa definicja obejmuje również przypadki, gdy  jest punktem  lub środkiem okręgu  Punkty te zamieniają się miejscami, gdyż wszystkie proste przechodzące przez środek okręgu są prostopadłe do  i przechodzą przez punkt

O symetrii względem okręgu (inwersji) można było przeczytać więcej m.in. w deltoidzie 5/2013 i 8/2013. Definicja podana powyżej różni się jednak od tej powszechnie przyjętej. Posiada ona niewątpliwe wady – nie jest na przykład jasne, że określenie punktu  nie zależy od wyboru bloków prostopadłych. Czytelnik znający podstawowe własności inwersji (można je znaleźć w przywołanych artykułach) może łatwo ze standardowej definicji wyprowadzić powyższą jako wniosek. Nasza definicja posiada jednak następującą zaletę – w naturalny sposób uogólnia pojęcie symetrii osiowej. Tutaj pójdziemy na skróty, przywołując bez dowodu najważniejsze własności symetrii względem ustalonego bloku :

(1)

Obrazem dowolnego bloku jest blok.

(2)

Zachowane są kąty między krzywymi, w szczególności zachowana jest prostopadłość bloków.

(3)

Zachowane są symetrie względem bloków, to znaczy jeśli punkty  są symetryczne względem  to ich obrazy są symetryczne względem obrazu

Gdy  jest okręgiem o środku  to punkty  są symetryczne względem  Dlatego obrazem bloku przechodzącego przez  jest blok przechodzący przez  czyli prosta. W podobny sposób na podstawie własności 1 można podać kryteria, kiedy obrazem prostej jest okrąg, kiedy obraz okręgu przechodzi przez  itd.

Zwróćmy uwagę, że trzecia własność wynika z dwóch poprzednich. Istotnie, jeśli zgodnie z definicją mamy dwa bloki prostopadłe do  przechodzące przez  i   to przy symetrii względem  konfiguracja ta jest zachowana: ich obrazy są blokami prostopadłymi do obrazu  i przechodzącymi przez obrazy punktów  i   a zatem obrazy tych punktów są symetryczne względem obrazu

Poniżej znajdują się przykłady zadań, w których można z powodzeniem wykorzystać wymienione własności.

W drugiej części artykułu zaprezentuję wyjątkowo eleganckie twierdzenie, którego dowód wykorzystuje niektóre z przedstawionych wcześniej własności symetrii względem okręgu.

W dowodzie będziemy się posługiwać potęgą punktu względem okręgu. O tym przydatnym narzędziu można przeczytać w deltoidzie 2/2012 i 3/2012. Poniżej podajemy kluczowe dla nas własności i pojęcia.

Jako przykład możemy rozważyć okręgi  przecinające się w punktach  Oba punkty mają tę samą (zerową) potęgę względem obu okręgów, a zatem osią potęgową okręgów  jest ich wspólna sieczna  Ta obserwacja, choć bardzo prosta, okaże się nam jeszcze przydatna.

Lemat powyżej jest pozostawiony Czytelnikowi jako zadanie. Istotnie, nietrudno jest obliczyć długości tych odcinków na podstawie promieni okręgów ; można też próbować mniej bezpośrednich metod. Teraz możemy już przejść do właściwego dowodu.

Na koniec chciałbym zachęcić Czytelnika do zastanowienia się nad poniższymi pytaniami. Wydają się one całkiem naturalne, a w celu znalezienia odpowiedzi wystarczy prześledzić powyższy dowód.

• Jak sformułować twierdzenie, aby można było w nim mówić o dowolnych blokach  niekoniecznie okręgach?
• Jakie inne kolejności punktów  na okręgu  można dopuścić w założeniach?