Mała Delta

Rozety

Jednym z najbardziej charakterystycznych elementów architektury średniowiecznej, zwłaszcza gotyckiej, są rozety. Są to okrągłe okna z delikatną konstrukcją kamienną, których puste przestrzenie są najczęściej wypełnione witrażami. Pierwsze rozety pojawiają się już w kościołach romańskich; zamiast witrażami są wypełnione cienkimi płytkami kamiennymi, przepuszczającymi światło.

Nas nie będzie interesować sposób wypełnienia tych pustych przestrzeni, ale geometryczny wzór konstrukcji kamiennej, dzielącej rozetę na części. Na rysunku 1 widzimy jedną z najprostszych rozet romańskich, wzorowaną na rozecie z prowansalskiego opactwa Silvacane. Na rysunku 2 widzimy, w jaki sposób ta rozeta powstała. Dostrzegamy znajome elementy: ciągi kolejno stycznych zewnętrznie okręgów, stycznych wewnętrznie do dużego okręgu. Dostrzegamy również podobny element: ciąg takich okręgów stycznych zewnętrznie do mniejszego okręgu. Takie ciągi kolejno stycznych okręgów były podstawowym elementem konstrukcji wieloliści. W jednym z poprzednich artykułów omówiliśmy trzy rodzaje wieloliści i obliczyliśmy długości promieni tych okręgów oraz odległości środków tych promieni od środka największego okręgu. W tym artykule zobaczymy, jak w ogólnym przypadku można skonstruować te okręgi.

Zaczynamy od podziału koła na równe wycinki. Końce promieni tworzących te wycinki są wierzchołkami wielokąta foremnego wpisanego w okrąg (zob. rysunek 3). W tym momencie powstaje problem, w jaki sposób możemy skonstruować wielokąt foremny wpisany w okrąg. Od starożytności znane są konstrukcje niektórych wielokątów foremnych: trójkąta, kwadratu, pięciokąta, sześciokąta, ośmiokąta, dziesięciokąta i wielu innych. Dzisiaj wiemy również, że niektóre wielokąty foremne (np. siedmiokąt czy dziewięciokąt) nie są konstruowalne za pomocą cyrkla i linijki; znane są natomiast konstrukcje przybliżone. Nie będziemy w tym artykule zajmować się dokładniej kwestią podziału koła na równe części. Takie podziały wykonywano cyrklem i linijką, metodami przybliżonymi lub też metodą prób i błędów, osiągając zadowalającą dokładność.

Nas będzie interesować skonstruowanie okręgu wpisanego w wycinek i dopisanego do wycinka. Okręgiem wpisanym w wycinek koła nazywamy okrąg styczny do trzech linii ograniczających wycinek: obu promieni i łuku tworzącego ten wycinek (zob. rysunek 4). Okręgiem dopisanym do wycinka koła nazywamy okrąg styczny do łuku tworzącego ten wycinek i przedłużeń obu promieni (zob. rysunek 5).

Zajmiemy się najpierw okręgiem wpisanym w wycinek koła. Przypuśćmy, że taki okrąg jest już skonstruowany. Jest on styczny do łuku $\text{[math]}$ oraz do promieni $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (zob. rysunek 6). Ze względu na symetrię okrąg wpisany jest styczny do łuku $\text{[math]}$ w jego środku $\text{[math]}$ ; środek okręgu wpisanego leży przy tym na promieniu $\text{[math]}$ Niech punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ będą punktami styczności okręgu wpisanego z promieniami dużego okręgu. Poprowadźmy wspólną styczną do obu okręgów w ich punkcie styczności $\text{[math]}$ i niech $\text{[math]}$ będzie punktem przecięcia tej stycznej z prostą $\text{[math]}$ Zauważmy, że środek $\text{[math]}$ okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta $\text{[math]}$ Widzimy zatem sposób konstrukcji punktu $\text{[math]}$ :

prowadzimy dwusieczną kąta tworzącego wycinek,
punkt przecięcia tej dwusiecznej z łukiem ograniczającym wycinek oznaczamy literą $\text{[math]}$
przez punkt $\text{[math]}$ prowadzimy prostą prostopadłą do dwusiecznej $\text{[math]}$
literą $\text{[math]}$ oznaczamy punkt przecięcia tej prostopadłej z przedłużeniem promienia tworzącego wycinek,
prowadzimy dwusieczną kąta $\text{[math]}$
literą $\text{[math]}$ oznaczamy punkt przecięcia dwusiecznej kąta $\text{[math]}$ z promieniem $\text{[math]}$
rysujemy okrąg o środku w punkcie $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ ; punktami styczności $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ narysowanego okręgu wpisanego z promieniami tworzącymi wycinek są rzuty punktu $\text{[math]}$ na te promienie.

Konstrukcja okręgu dopisanego do wycinka jest bardzo podobna (zob. rysunek 7). Przypuśćmy, że dany jest już okrąg dopisany styczny do przedłużeń promieni w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz do łuku $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Znów ze względu na symetrię punkt $\text{[math]}$ jest środkiem łuku $\text{[math]}$ Zauważmy następnie, że środek okręgu dopisanego jest punktem przecięcia półprostej $\text{[math]}$ z dwusieczną kąta $\text{[math]}$ którą możemy łatwo skonstruować. Obie konstrukcje zostały pokazane na rysunku 8 Linią pogrubioną zostały zaznaczone łuki okręgów zewnętrznego i wewnętrznego, łuki okręgów wpisanego i dopisanego będące fragmentami rozety z Silvacane i łączące je odcinki promieni. Należy tu jeszcze dodać, że wielkość najmniejszego okręgu była dobierana dowolnie przez artystę tworzącego rozetę, zgodnie z jego wyczuciem estetycznym.

Za pomocą opisanych wyżej konstrukcji można utworzyć wiele różnych rozet. Pozostawimy Czytelnikowi jako ćwiczenie skonstruowanie dwóch pięknych rozet. Pierwsza z nich pochodzi z kościoła St-Jean-de-Malte w Aix-en-Provence w południowej Francji (rysunek 9), druga z katedry w Troia w południowych Włoszech (rysunek 10). Ta druga rozeta jest szczególnie interesująca z tego powodu, że występuje w niej niezwykle rzadko spotykany podział koła na 11 wycinków. Ponieważ jedenastokąt foremny nie może być skonstruowany za pomocą cyrkla i linijki, więc od Czytelnika oczekujemy konstrukcji przybliżonej podziału okręgu na 11 równych części (np. metodą prób i błędów) i następnie skonstruowania widocznych 11 łuków. W tej rozecie zwróćmy także uwagę na ostrołuki powstające z przecięcia łuków okręgów. Ostrołuki występujące w rozetach będą tematem następnego artykułu.