Twierdzenie Morleya
Każdy wie, co to są dwusieczne kątów – tutaj będziemy mówili o trójsiecznych, czyli prostych dzielących kąt (i jego kąt wierzchołkowy) na trzy równe częsci. Zatem trójsieczne są dwie. Mają one dziwną własność zwaną twierdzeniem Morleya.

Rys. 1
Twierdzenie (Morleya). Punkty przeciecięcia tych trójsiecznych kątów trójkąta, które sąsiadują z którymś z boków trójkąta, są wierzchołkami trójkąta równobocznego(Rys. 1).
Dowieść można go np. tak. Niech trójsieczne kątów przy wierzchołkach
i
sąsiadujące z
przecinają się w punkcie
a pozostałe trójsieczne tych kątów w punkcie
Po obu
stronach odcinka
odłóżmy kąt
o wierzchołku
Przecięcia ramion tego kąta z
i
oznaczmy,
odpowiednio, przez
i
(Rys. 2). Wykażemy, że trójkąt
jest równoboczny i proste
i
są
trójsiecznymi kąta przy wierzchołku
co zakończy dowód
twierdzenia.
W tym celu zauważmy najpierw, że
jest dwusieczną kąta
Wynika to z faktu, że
i
są dwusiecznymi,
odpowiednio, kątów
i
trójkąta
a trzy
dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Okazało się
więc, że czworokąt
jest deltoidem, z czego wynika, że
co dowodzi, że trójkąt
jest równoramienny.

Rys. 2
Ponadto mamy też
a skoro tak, to

Oznaczmy teraz obrazy symetryczne punktu
względem prostych
i
odpowiednio, przez
i
(oczywiście,
leżą one na
i
). Mamy więc

Rys. 3
Ponieważ
więc

Podobnie
Na podstawie równości tych kątów
i ich ramion można stwierdzić, że punkty
leżą na jednym
okręgu (Rys. 3). Jego środkiem jest mianowicie punkt
przecięcia
dwusiecznych kątów
i
Każdy z odcinków
i
jest cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu
Ponieważ rozwartość kąta
(czyli
) jest
równa
więc punkt
leży również na tym samym
okręgu, a kąty
i
jako równe połowom kątów
i
mają rozwartość
co kończy
dowód.
W sformułowaniu twierdzenia nie było mowy o tym, że chodzi o kąty
wewnętrzne, choć z tego korzystałem – rzecz w tym, że twierdzenie Morleya
jest prawdziwe również dla kątów zewnętrznych i ma praktycznie taki sam
dowód (trzeba tylko pamiętać, że suma kątów zewnętrznych jest równa
). Poniżej są rysunki do tego dowodu.