Obroty kwadratów

Delta, marzec 2013

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Wersja do druku [application/pdf]: (83 KB)

W większości poniższych zadań przydatne są obroty kwadratu wokół jego środka lub jednego z wierzchołków. Wszystkie zadania mają ten sam początek:

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym...

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym $\text{[math]}$ Udowodnij, że

display-math

Rozwiązanie

Obróćmy kwadrat o $\text{[math]}$ wokół środka. Obrazem trójkąta $\text{[math]}$ jest trójkąt $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ Analogicznie $\text{[math]}$ Stąd

display-math

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Obróćmy kwadrat o $\text{[math]}$ wokół wierzchołka $\text{[math]}$ niech $\text{[math]}$ będzie obrazem punktu $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ zatem

display-math

Ponadto $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ bo trójkąty te mają dodatkowo wspólny bok $\text{[math]}$ Stąd

display-math

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym obwód trójkąta $\text{[math]}$ równy jest 2. Wyznacz miarę kąta $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Obroty kwadratów»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Obroty kwadratów»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: XLIII Olimpiada Matematyczna
Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym $\text{[math]}$ Oblicz wysokość trójkąta $\text{[math]}$ poprowadzoną z wierzchołka $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Z rozwiązania zadania 2 wiemy, że $\text{[math]}$ Wysokości tych trójkątów poprowadzone z wierzchołka $\text{[math]}$ są więc obie równe $\text{[math]}$ czyli 1.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Obroty kwadratów»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym $\text{[math]}$ Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają przekątną $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Punkty $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu, bo $\text{[math]}$ i punkty $\text{[math]}$ leżą po tej samej stronie prostej $\text{[math]}$ Kąt $\text{[math]}$ jest prosty, więc $\text{[math]}$ jest średnicą tego okręgu. Stąd $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ jest wysokością trójkąta $\text{[math]}$ Analogicznie $\text{[math]}$ jest wysokością tego trójkąta, więc $\text{[math]}$ to jego ortocentrum. Wobec tego $\text{[math]}$ jako trzecia wysokość, jest prostopadła do $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Obroty kwadratów»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym prosta $\text{[math]}$ jest styczna do okręgu o środku $\text{[math]}$ i promieniu 1. Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają przekątną $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Udowodnij, że punkty $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ będzie punktem styczności prostej $\text{[math]}$ do danego okręgu. Wtedy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Stąd

display-math

Na mocy rozwiązania zadania 6 wiemy więc, że

display-math

Stąd wniosek, że punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na okręgu o średnicy $\text{[math]}$ Leży na nim też punkt $\text{[math]}$ bo $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Obroty kwadratów»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Obroty kwadratów
Publikacja w Delcie: marzec 2013
Publikacja elektroniczna: 01-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ kwadratu $\text{[math]}$ o boku 1, przy czym $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ to rzut punktu $\text{[math]}$ na prostą $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Obróćmy kwadrat o $\text{[math]}$ wokół środka. Obrazem punktu $\text{[math]}$ jest taki punkt $\text{[math]}$ na boku $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ Obrazem prostej $\text{[math]}$ jest prosta $\text{[math]}$ jest ona prostopadła do $\text{[math]}$ więc zawiera punkt $\text{[math]}$ Opiszmy okrąg na prostokącie $\text{[math]}$ jego średnicą jest $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ leży na tym okręgu, ponieważ kąt $\text{[math]}$ jest prosty. Średnicą okręgu jest także $\text{[math]}$ więc również kąt $\text{[math]}$ jest prosty.