Okrąg dziewięciu punktów i pewne dwa fakty

Trzy niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie jednoznacznie wyznaczają okrąg, który przez nie przechodzi. Zatem jeśli pewne cztery punkty leżą na jednym okręgu, to jest to fakt godny odnotowania. W geometrii istnieje niezwykle urocze twierdzenie, które mówi, że aż dziewięć szczególnych punktów trójkąta leży na jednym okręgu.

Twierdzenie. Dany jest trójkąt $\text{[math]}$ a punkt $\text{[math]}$ to jego ortocentrum. Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są środkami boków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tego trójkąta, $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ to spodki wysokości poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zaś $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ to środki odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wówczas punkty $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu zwanym okręgiem dziewięciu punktów.

W literaturze istnieje kilka różnych dowodów tego twierdzenia. Oto szkic najpopularniejszego z nich – uzupełnienie szczegółów może być ciekawym ćwiczeniem dla Czytelników, którzy go nie znają.

Dowód. Zauważmy, że czworokąty $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ są prostokątami o wspólnej przekątnej $\text{[math]}$ Oznacza to, że ich wierzchołki leżą na okręgu o środku w środku odcinka $\text{[math]}$ (ten punkt jest także środkiem każdej z pozostałych przekątnych tych prostokątów). Pozostaje jeszcze zauważyć, że każdy z trójkątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ jest prostokątny.

Czytelnik Odważny z łatwością sprawdzi, że ten dowód bez kłopotów przenosi się na wyższe wymiary i istnieje odpowiednik okręgu dziewięciu punktów w dowolnym wymiarze. W przestrzeni trójwymiarowej jest to dobrze znana sfera dwunastu punktów.

Okazuje się, że okrąg dziewięciu punktów wiąże się ściśle z dwoma dobrze znanymi prostymi faktami.

Fakt 1. Punkt $\text{[math]}$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $\text{[math]}$ (Rys. 1). Prosta $\text{[math]}$ przecina bok $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ zaś okrąg opisany na trójkącie $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ (różnym od $\text{[math]}$ ). Wówczas punkt $\text{[math]}$ jest środkiem odcinka $\text{[math]}$ (W skrócie: ortocentrum trójkąta w symetrii względem jego boków ląduje na okręgu opisanym.)

Dowód. Zauważmy, że

display-math

i podobnie $\text{[math]}$ W takim razie punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są symetryczne względem odcinka $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Fakt 2. Punkt $\text{[math]}$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $\text{[math]}$ (Rys. 2). Niech $\text{[math]}$ będzie środkiem boku $\text{[math]}$ zaś $\text{[math]}$ punktem przecięcia półprostej $\text{[math]}$ z okręgiem opisanym na trójkącie $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ jest środkiem odcinka $\text{[math]}$

Dowód. Z poprzedniego faktu wnosimy, że

display-math

co oznacza, że proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są symetryczne względem symetralnej odcinka $\text{[math]}$ Z drugiej strony symetralna ta jest również osią symetrii okręgu opisanego na trójkącie $\text{[math]}$ To zaś oznacza, że punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ również są względem niej symetryczne. Stąd i z poprzedniego faktu mamy: $\text{[math]}$

Teraz możemy w zaskakująco prosty sposób udowodnić twierdzenie o okręgu dziewięciu punktów.

Dowód. Analogicznie do punktów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ definiujemy punkty $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Odnotujmy, że:

punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio środkami odcinków $\text{[math]}$
punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio środkami odcinków $\text{[math]}$
punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio środkami odcinków $\text{[math]}$

Rozważmy teraz jednokładność o środku w punkcie $\text{[math]}$ o skali $\text{[math]}$ Z powyższych obserwacji wnioskujemy więc, że przy tej jednokładności:

punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio obrazami punktów $\text{[math]}$
punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio obrazami punktów $\text{[math]}$
punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio obrazami punktów $\text{[math]}$

Jednakże punkty $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu, zatem ich obrazy również.

To, że powyższego dowodu nie widziałem nigdzie w literaturze, wydaje mi się dość zaskakujące, bowiem fakt, iż okrąg dziewięciu punktów jest obrazem jednokładnym okręgu opisanego w rozważanej w dowodzie jednokładności, jest bardzo dobrze znany. Jedynie Michał Szurek w Opowieściach geometrycznych wykorzystuje w podobny sposób fakt 1, ale tamten dowód nie jest tak prosty. To właśnie za jego pomocą dowodzi się, że środek okręgu dziewięciu punktów leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na danym trójkącie.

Co ciekawe, powyższe rozumowanie można odwrócić (rozważając jednokładność odwrotną do opisanej) i za pomocą okręgu dziewięciu punktów udowodnić dwa przytoczone fakty, a więc okrąg dziewięciu punktów jest z nimi równoważny.

Czytelnik Wnikliwy od razu zauważy, że w ten sposób można otrzymać odpowiedniki faktów 1 i 2 w przestrzeni, zaś Czytelnik Odważny sprawdzi to również w wyższych wymiarach. Czy można je jednak otrzymać inną drogą, co pozwoliłoby na uzyskanie z nich sfery dwunastu punktów? Okazuje się, że tak. Przestrzenny odpowiednik faktu 1 był jednym z zadań na finale LXII Olimpiady Matematycznej. Jedna z kilku możliwych metod przeprowadzenia dowodu to dwukrotne zastosowanie faktu 1 oraz wykorzystanie kilku własności czworościanów ortocentrycznych. To rozumowanie można także zastosować w indukcyjnym dowodzie dla wyższych wymiarów, co z pewnością zainteresuje Czytelnika Odważnego. Przestrzenny odpowiednik faktu 2 udowodnić jest nieco trudniej, bowiem poza przestrzenną wersją faktu 1 należy wykorzystać jeszcze prostą Eulera dla trójkąta będącego podstawą czworościanu. Czytelnik Odważny w celu uogólnienia tego faktu na wyższe wymiary będzie musiał wykorzystać odpowiednik prostej Eulera podany na marginesie.