Okrąg dziewięciu punktów i pewne dwa fakty
Trzy niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie jednoznacznie wyznaczają okrąg, który przez nie przechodzi. Zatem jeśli pewne cztery punkty leżą na jednym okręgu, to jest to fakt godny odnotowania. W geometrii istnieje niezwykle urocze twierdzenie, które mówi, że aż dziewięć szczególnych punktów trójkąta leży na jednym okręgu.
Twierdzenie. Dany jest trójkąt
a punkt
to jego
ortocentrum. Punkty
i
są środkami boków
i
tego trójkąta,
i
to
spodki wysokości poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków
i
zaś
i
to środki odcinków
i
Wówczas
punkty
leżą na jednym okręgu
zwanym okręgiem dziewięciu punktów.
W literaturze istnieje kilka różnych dowodów tego twierdzenia. Oto szkic najpopularniejszego z nich – uzupełnienie szczegółów może być ciekawym ćwiczeniem dla Czytelników, którzy go nie znają.


Rys. 1

Rys. 2
Dowód. Zauważmy, że
czworokąty
oraz
są prostokątami
o wspólnej przekątnej
Oznacza to, że ich wierzchołki leżą
na okręgu o środku w środku odcinka
(ten punkt jest
także środkiem każdej z pozostałych przekątnych tych prostokątów).
Pozostaje jeszcze zauważyć, że każdy z trójkątów
i
jest prostokątny.
Czytelnik Odważny z łatwością sprawdzi, że ten dowód bez kłopotów przenosi się na wyższe wymiary i istnieje odpowiednik okręgu dziewięciu punktów w dowolnym wymiarze. W przestrzeni trójwymiarowej jest to dobrze znana sfera dwunastu punktów.
Okazuje się, że okrąg dziewięciu punktów wiąże się ściśle z dwoma dobrze znanymi prostymi faktami.
Fakt 1. Punkt
jest punktem przecięcia wysokości trójkąta
(Rys. 1).
Prosta
przecina bok
w punkcie
zaś okrąg
opisany na trójkącie
w punkcie
(różnym od
). Wówczas punkt
jest środkiem odcinka
(W skrócie: ortocentrum trójkąta w symetrii względem jego
boków ląduje na okręgu opisanym.)
Dowód. Zauważmy, że

i podobnie
W takim razie punkty
i
są
symetryczne względem odcinka
oraz
Fakt 2. Punkt
jest punktem przecięcia wysokości
trójkąta
(Rys. 2). Niech
będzie środkiem boku
zaś
punktem
przecięcia półprostej
z okręgiem opisanym na trójkącie
Wtedy
jest środkiem odcinka
Dowód. Z poprzedniego faktu wnosimy, że

co oznacza, że proste
i
są symetryczne
względem symetralnej odcinka
Z drugiej strony symetralna ta
jest również osią
symetrii okręgu opisanego na trójkącie
To zaś oznacza, że
punkty
i
również są względem niej symetryczne.
Stąd i z poprzedniego faktu mamy:

Teraz możemy w zaskakująco prosty sposób udowodnić twierdzenie o okręgu dziewięciu punktów.
Dowód. Analogicznie do punktów
i
definiujemy
punkty
oraz
Odnotujmy, że:
- punkty
są odpowiednio środkami odcinków
- punkty
są odpowiednio środkami odcinków
- punkty
są odpowiednio środkami odcinków
Rozważmy teraz jednokładność o środku w punkcie
o skali
Z powyższych obserwacji wnioskujemy więc, że przy tej
jednokładności:
- punkty
są odpowiednio obrazami punktów
- punkty
są odpowiednio obrazami punktów
- punkty
są odpowiednio obrazami punktów
Jednakże punkty
leżą na jednym okręgu,
zatem ich obrazy również.
To, że powyższego dowodu nie widziałem nigdzie w literaturze, wydaje mi się dość zaskakujące, bowiem fakt, iż okrąg dziewięciu punktów jest obrazem jednokładnym okręgu opisanego w rozważanej w dowodzie jednokładności, jest bardzo dobrze znany. Jedynie Michał Szurek w Opowieściach geometrycznych wykorzystuje w podobny sposób fakt 1, ale tamten dowód nie jest tak prosty. To właśnie za jego pomocą dowodzi się, że środek okręgu dziewięciu punktów leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na danym trójkącie.
Co ciekawe, powyższe rozumowanie można odwrócić (rozważając jednokładność odwrotną do opisanej) i za pomocą okręgu dziewięciu punktów udowodnić dwa przytoczone fakty, a więc okrąg dziewięciu punktów jest z nimi równoważny.
Czytelnik Wnikliwy od razu zauważy, że w ten sposób można otrzymać odpowiedniki faktów 1 i 2 w przestrzeni, zaś Czytelnik Odważny sprawdzi to również w wyższych wymiarach. Czy można je jednak otrzymać inną drogą, co pozwoliłoby na uzyskanie z nich sfery dwunastu punktów? Okazuje się, że tak. Przestrzenny odpowiednik faktu 1 był jednym z zadań na finale LXII Olimpiady Matematycznej. Jedna z kilku możliwych metod przeprowadzenia dowodu to dwukrotne zastosowanie faktu 1 oraz wykorzystanie kilku własności czworościanów ortocentrycznych. To rozumowanie można także zastosować w indukcyjnym dowodzie dla wyższych wymiarów, co z pewnością zainteresuje Czytelnika Odważnego. Przestrzenny odpowiednik faktu 2 udowodnić jest nieco trudniej, bowiem poza przestrzenną wersją faktu 1 należy wykorzystać jeszcze prostą Eulera dla trójkąta będącego podstawą czworościanu. Czytelnik Odważny w celu uogólnienia tego faktu na wyższe wymiary będzie musiał wykorzystać odpowiednik prostej Eulera podany na marginesie.