Konkurs prac uczniowskich

Japońska geometria świątynna

Połączenie matematyki z religią może wydawać się nam, Europejczykom, dość zaskakujące. W Japonii jednak przez bardzo długi czas nie było niczym niezwykłym. Zjawisko to zostało zapoczątkowane w XVII wieku, kiedy władcy tego kraju podjęli decyzję o zamknięciu portów i odcięciu Japonii od reszty świata, szczególnie od Europy Zachodniej, a trwało do XIX wieku.

W tym czasie w Kraju Kwitnącej Wiśni nastąpił znaczny rozwój kultury, sztuki i nauki – także matematyki. Do dziś zachowało się wiele eksponatów pochodzących ze świątyń Shinto, obowiązującej wówczas religii. Są to drewniane tabliczki z kolorowymi rysunkami, przedstawiającymi ułożone na różne sposoby figury geometryczne. Szczególnie wiele jest tam okręgów stycznych do różnych figur, często do innych okręgów. Te obrazki to sangaku – w dosłownym tłumaczeniu „matematyczne tabliczki”.

Sangaku to w istocie zadania z geometrii euklidesowej. Część z nich nie ma nawet polecenia – odgadnięcie go jest częścią zagadki. Inne jednak opisano w Kanbun, czyli piśmie używającym ideogramów chińskich, a czytanym po japońsku. Kanbun miał podobną rangę jak łacina na Zachodzie, był językiem ludzi mających wyższe wykształcenie. Stąd wniosek, że tworzyli i rozwiązywali te sangaku głównie obywatele z klasy samurajów. Cele tworzenia sangaku były dwojakie: wysiłek włożony w rozwiązanie ofiarowywano opiekuńczym duchom, a wisząca w świątyni tabliczka stawała się wyzwaniem dla innych.

Prawdopodobnie najbardziej znanym na Zachodzie sangaku pozostaje tzw. japońskie twierdzenie o wielokącie wpisanym w okrąg, występujące nawet pod nazwą „sangaku” w Kąciku olimpijskim (zob. [1]).

Sangaku 1. Suma promieni okręgów wpisanych we wszystkie trójkąty pewnej triangulacji wielokąta wpisanego w okrąg jest stała dla danego wielokąta i niezależna od triangulacji (Rys. 1).

Dowód tego twierdzenia także znajduje się w Kąciku olimpijskim, nie będę go więc tu przytaczać.

Jedno sangaku pojawiło się nawet na Asian Pacific Mathematics Olympiad w 1996 r. Znane jest ono jako japońskie twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg.

Sangaku 2. Czworokąt $\text{[math]}$ jest wpisany w okrąg. Wówczas środki $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ tworzą prostokąt (Rys. 2).

Przy dowodzie tego twierdzenia najpierw wykazujemy, że na czwórkach punktów złożonych z dwóch środków okręgów wpisanych i dwóch odpowiednio do nich dobranych wierzchołków czworokąta (np. na czwórce $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ) można opisać okrąg. Następnie bierzemy dwa takie okręgi (np. opisane na punktach $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ) i wykazujemy, że odpowiedni kąt (w naszym przykładzie kąt $\text{[math]}$ ) jest kątem prostym. Całość dowodu to proste rachunki na kątach w okręgu, które pozostawiam Czytelnikowi do sprawdzenia.

Aby ukazać specyfikę zadań sangaku, przedstawię tu rozwiązanie jednego z nich w całości.

Sangaku 3. Dane są dwa trójkąty równoboczne wpisane w kwadrat oraz dwa okręgi wpisane w wybrane z powstałych trójkątów, jak pokazuje rysunek 3. Należy znaleźć zależność między promieniami tych okręgów.

Przyjmijmy oznaczenia wierzchołków i punktów przecięcia odcinków jak na rysunku 4. Weźmy ponadto punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ będące rzutami prostokątnymi, odpowiednio, punktu $\text{[math]}$ na $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ na $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ na $\text{[math]}$ i oznaczmy znane kąty. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że długości boków kwadratu są równe $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ Wtedy wysokość $\text{[math]}$ trójkąta równobocznego $\text{[math]}$ ma długość $\text{[math]}$ a zatem $\text{[math]}$ Z podobieństwa trójkątów $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ stąd $\text{[math]}$

Obliczymy teraz długości promieni zaznaczonych okręgów. Będziemy korzystać ze wzoru $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ to odpowiednio pole trójkąta, jego obwód i promień okręgu wpisanego. Aby uprościć te obliczenia, wykonamy je dla okręgów wpisanych w trójkąty podobne do $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Rozważmy trójkąty $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ takie że $\text{[math]}$ oraz wysokość $\text{[math]}$ mają długość 1, jak na rysunku 5. Wtedy promień $\text{[math]}$ okręgu wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ ma długość

display-math

Promień $\text{[math]}$ okręgu wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ ma się do $\text{[math]}$ tak, jak $\text{[math]}$ do $\text{[math]}$ a ponieważ

display-math

więc

display-math

Analogicznie obliczamy

display-math

Po wykonaniu kilku przekształceń dochodzimy do wniosku, że $\text{[math]}$

Jest to jedno z bardziej typowych sangaku. Jak widać, rozwiązanie zawiera parę pomysłów i raczej żmudne obliczenia, ale nie korzysta z wyszukanych metod i nie wymaga niczego więcej niż podstawowa wiedza z zakresu planimetrii.

W Delcie 9/2011 w artykule Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej można przeczytać o twierdzeniu Caseya. Przypomnę w tym miejscu jego uproszczoną wersję, gdyż posłuży nam ona do rozwiązania następnego sangaku.

Twierdzenie (Twierdzenie Caseya). Jeśli okręgi $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ są styczne do okręgu $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (wszystkie wewnętrznie lub wszystkie zewnętrznie) oraz czworokąt $\text{[math]}$ wpisany w okrąg $\text{[math]}$ jest wypukły, to spełniona jest równość:

display-math

gdzie $\text{[math]}$ to długość odcinka między punktami styczności okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ do ich wspólnej zewnętrznej stycznej.

Sangaku 4. Wewnątrz kwadratu o boku długości $\text{[math]}$ znajduje się okrąg $\text{[math]}$ Okrąg ten nie ma punktów wspólnych z brzegiem kwadratu. Cztery okręgi $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ o różnych promieniach są styczne do okręgu $\text{[math]}$ oraz każdy z nich jest styczny do dwóch boków kwadratu (Rys. 6). Wyznacz długość boku kwadratu w zależności od promieni okręgów $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Zadanie to najłatwiej rozwiązać, zapisując równość wynikającą z twierdzenia Caseya. Długości interesujących nas odcinków można wyznaczyć, używając twierdzenia Pitagorasa i odejmując długości odpowiednich promieni od długości boku kwadratu. W ten sposób otrzymujemy równanie

$(a− r1− r2)(a− r3− r4)+ (a − r2− r3)(a− r1− r4) = √ -------------2---------2- √ -------------2----------2- = 2⋅(a − r1−r3) − (r3− r1) ⋅ 2⋅(a − r2− r4) −(r2− r4) .$

(1)

Teraz wyprowadzenie wzoru na

\text{[math]}

pozostaje jedynie kwestią sprawności rachunkowej.

Na koniec sangaku dość nietypowe, bowiem niezawierające ani jednego okręgu. Czytelnik Wnikliwy z pewnością zechce je rozwiązać w ramach rozwijania znajomości z japońskimi zadaniami geometrycznymi.

Sangaku 5. Dane są cztery kwadraty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ułożone jak na rysunku 7. Jaka jest zależność między polami kwadratów $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ jeśli punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są współliniowe?

Podpowiedź: można wpisać kwadraty, do których należą wierzchołki $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ w kwadraty o podstawach zawierających się w prostej $\text{[math]}$