$\text{[math]}$

Delta, październik 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Wersja do druku [application/pdf]: (85 KB)

Najpopularniejszy wzór na pole trójkąta to jedna druga podstawa razy wysokość. Proste wnioski z tego wzoru pozwalają rozwiązać niełatwe czasem zadania.

Trójkąty o równych podstawach i wspólnej wysokości mają równe pola

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów,
Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Punkt $\text{[math]}$ leży wewnątrz sześciokąta wypukłego $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio środkami boków $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$ nie zależy od wyboru punktu $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Skoro $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ Podobnie $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Dodając stronami, uzyskujemy $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-2»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Dany jest czworokąt wypukły $\text{[math]}$ o polu 1. Punkt $\text{[math]}$ jest symetryczny do punktu $\text{[math]}$ względem punktu $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ jest symetryczny do punktu $\text{[math]}$ względem punktu $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ jest symetryczny do punktu $\text{[math]}$ względem punktu $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ jest symetryczny do punktu $\text{[math]}$ względem punktu $\text{[math]}$ Oblicz $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Zauważmy, że $\text{[math]}$ bo trójkąty te mają równe podstawy $\text{[math]}$ i wspólną wysokość z $\text{[math]}$ Ponadto $\text{[math]}$ (ponieważ $\text{[math]}$ ). Analogicznie $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$ Podobnie $\text{[math]}$ i ostatecznie $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-3»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Udowodnij, że środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-4»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Dany jest czworokąt wypukły $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ należą do boku $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ a punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ należą do boku $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Trójkąty o wspólnej podstawie i równych polach mają równe wysokości

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-5»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów,
Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Dany jest taki pięciokąt wypukły $\text{[math]}$ w którym pola trójkątów $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe. Udowodnij, że każda przekątna tego pięciokąta jest równoległa do pewnego jego boku.

Rozwiązanie

Trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają wspólną podstawę $\text{[math]}$ i równe pola, więc też równe wysokości. Punkty $\text{[math]}$ są po tej samej stronie prostej $\text{[math]}$ stąd $\text{[math]}$ Dla pozostałych przekątnych dowód jest analogiczny.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-6»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Każda z przekątnych $\text{[math]}$ sześciokąta wypukłego $\text{[math]}$ dzieli go na dwa czworokąty o równych polach. Wykaż, że trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są podobne.

Trójkąty o wspólnej podstawie i równych wysokościach mają równe pola

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-7»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Dany jest czworokąt wypukły $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ należą odpowiednio do odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przy czym czworokąt $\text{[math]}$ jest równoległobokiem. Odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Zachodzą kolejno równości

$pict$

przy czym $\text{[math]}$ wynika z równoległości $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ z $\text{[math]}$

Trójkąty o wspólnej wysokości mają stosunek pól równy stosunkowi podstaw

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-8»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Przekątne czworokąta wypukłego $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wyznacz $\text{[math]}$ jeśli $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

ZM-11.10-Deltoid-9»Zadanie 9

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
$\text{[math]}$
Publikacja w Delcie: październik 2011
Publikacja elektroniczna: 02-10-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (85 KB)

Przekątne trapezu $\text{[math]}$ o podstawach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Dane są $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wyznacz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc też równe pola. Stąd

display-math

czyli

display-math

Trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają wspólną wysokość z $\text{[math]}$ więc

display-math

Podobnie $\text{[math]}$ Stąd

display-math

czyli $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Wobec tego

display-math

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności