Napisało i umieściło w niesamowitym, matematycznym świecie, przez co nabrała szczególnego uroku. Posłuchajcie opowieści o niezwykłej więzi, jaka połączyła dwoje ludzi... A może będzie to opowieść o tym, jak niezwykła więź połączyła dwoje ludzi z matematyką? Przeczytajcie i oceńcie sami.

Lata trzydzieste ubiegłego stulecia były, z wielu względów, dla mieszkańców Węgier czasem trudnym. Ale zima w roku 1933 była wyjątkowo piękna. Oprószony śniegiem urokliwy Park Miejski czy pełne czaru kawiarenki w Budapeszcie stanowiły idealne miejsce spotkań. Grupka młodych ludzi (między innymi Paul Erdős, Paul Turán, George Szekeres i Esther Klein) tę zimową scenerię uznała za idealne tło dla długich i inspirujących rozmów o... matematyce. Któregoś mroźnego, niedzielnego popołudnia Esther, która wyjątkową miłością pałała do problemów geometrycznych, podzieliła się z kolegami pewną obserwacją.

Rys. 1

Ta niewinnie wyglądająca obserwacja geometryczna stała się dla Erdősa i Szekeresa inspiracją do dalszych badań nad ciekawymi problemami z pogranicza geometrii i kombinatoryki. Postawili nasuwające się od razu pytanie: czy twierdzenie Esther Klein o czworokącie można uogólnić na dowolne -kąty wypukłe? Innymi słowy, czy w odpowiednio dużym i „porządnym” zbiorze punktów na płaszczyźnie można zawsze odnaleźć wielokąt wypukły o zadanej liczbie wierzchołków? Wkrótce opublikowali oni wspólną pracę, która stała się motorem szybkiego rozwoju geometrii kombinatorycznej. Ich główne twierdzenie dawało pozytywną odpowiedź na postawione wcześniej pytanie.

W dowodzie autorzy wykorzystali twierdzenie Ramseya (należy ono obecnie do klasyki kombinatoryki) oraz wcześniejszą obserwację Esther Klein. Jasne jest, że jeżeli znajdziemy jakąkolwiek liczbę  która spełnia tezę powyższego twierdzenia, to każda liczba większa od niej też ją musi spełniać. Naturalny staje się problem wyznaczenia najmniejszej takiej liczby dla zadanego  Oznaczmy ją (tak jak w oryginalnej pracy) przez  Spróbujmy wyznaczyć wartości  dla kilku początkowych  Trywialnie

Rys. 2 Osiem punktów bez wypukłego pięciokąta

Twierdzenie Esther Klein, połączone z obserwacją, że nie każdy czworokąt na płaszczyźnie jest wypukły, daje nam  Wykazanie, że  wymaga nieco więcej zachodu. Rysunek 2 przedstawia układ ośmiu punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej i żadne pięć nie tworzy wypukłego pięciokąta. Dowód, że wśród dziewięciu punktów sytuacja taka nie może zaistnieć, jest znacznie trudniejszy i po raz pierwszy znalazł go Makai (ten dowód nie został nigdzie opublikowany, ale był cytowany przez Erdősa i Szekeresa). Czy znając pierwsze trzy wartości ciągu  można dostrzec jakąś prawidłowość?

---

Erdős i Szekeres zauważyli, że

i, mimo że nie znali wartości  dla żadnego większego  a oszacowania, które wynikały z dowodu ich twierdzenia, wyglądały na istotnie nadmiarowe, to pokusili się o postawienie bardzo śmiałej hipotezy, mówiącej, że dla dowolnego

Dopiero w roku 1961 opublikowali oni pracę, w której pokazali (przez jawną konstrukcję), że  Niestety, wyznaczenie dokładnych wartości  okazało się zagadnieniem o wiele bardziej złożonym. Do dnia dzisiejszego pokazano jedynie, że  Dokonali tego Szekeres i Peters wspomagani przez program komputerowy, który pomógł przeanalizować różne położenia 17 punktów na płaszczyźnie i stwierdzić, że w każdym z nich pojawił się wypukły sześciokąt. Wkład ludzki polegał w tym przypadku na znacznym ograniczeniu zbioru konfiguracji, które wymagały analizy komputerowej. Wynik ten ukazał się drukiem dopiero w 2006 roku, a więc rok po śmierci Szekeresa. Wydaje się niemożliwe, aby metoda komputerowa mogła pomóc przy wyznaczaniu    i kolejnych wartości. Najlepsze, jak do tej pory, górne oszacowanie na  znaleźli w 2005 roku Tóth i Valtr, dowodząc, że

Jak widać, jest ono bardzo dalekie od tego, które 70 lat wcześniej przedstawili Erdős i Szekeres.

Tutaj historia tego twierdzenia wcale nie musi się skończyć. Być może to właśnie Ty, Czytelniku, będziesz autorem scenariusza do kolejnej części. Ale teraz pewnie zastanawiasz się, gdzie jest obiecywany happy end. Otóż wspomniana na samym początku obserwacja geometryczna Esther Klein nie tylko zainspirowała George’a Szekeresa do zajęcia się problemem w ujęciu matematycznym, ale też skierowała jego uwagę na osobę autorki. Zaledwie w rok po opublikowaniu artykułu Erdősa i Szekeresa odbył się ślub George’a i Esther. Twierdzenie Esther Klein zyskało nazwę twierdzenia z happy endem, a państwo Szekeres żyli długo i szczęśliwie.

THE END