Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

O publikacji „Matematyka. Poszukuję – odkrywam”

W grudniu 2010 roku ukazał się drugi tom serii wydawniczej Biblioteczka Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej zatytułowany Matematyka. Poszukuję – odkrywam. Materiały w nim zawarte stanowią opracowania referatów wygłoszonych w ramach konferencji Konkursy matematyczne w Polsce, zorganizowanej w 2008 roku przez Uniwersytet Warszawski we współpracy ze Stowarzyszeniem na rzecz Edukacji Matematycznej.

Ze zbioru Matematyka. Poszukuję – odkrywam dowiemy się między innymi:

w jaki sposób dobra znajomość wzorów skróconego mnożenia oraz technik ich stosowania może pomóc w rozwiązywaniu zadań olimpijskich,
jak grać, żeby wygrać, czyli jak rozstrzygnąć, czy dla opisanej w zadaniu gry któryś z graczy ma strategię wygrywającą,
jak sobie radzić z dowodzeniem nierówności, gdy domyślamy się idei rozwiązania, ale problemy nastręcza ustalenie szczegółów,
z jakich faktów warto korzystać, wykazując, że zadane cztery punkty leżą na jednym okręgu.

W publikacji znajdziemy ponadto pierwszy plakat wydany przez Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Równe sumy pól wraz z omówieniem zawierającym dowody przedstawionych na nim zależności, a także ciekawe uogólnienie twierdzenia Ptolemeusza, którego najprostszą wersję przytaczam poniżej, zachęcając jednocześnie Czytelników do zapoznania się ze szczegółami zawartymi w broszurze.

Twierdzenie Ptolemeusza głosi:

Twierdzenie (Ptolemeusza). W czworokącie wypukłym wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków.

Zdefiniujmy odległość styczną $\text{[math]}$ pary okręgów jako odległość punktów styczności tych okregów do ich wspólnej stycznej zewnętrznej (Rys. 1).

Rozważmy okręgi $\text{[math]}$ wszystkie styczne wewnętrznie (lub wszystkie styczne zewnętrznie) do okręgu $\text{[math]}$ w wierzchołkach czworokąta wypukłego $\text{[math]}$ (Rys. 2).

Spełniona jest wówczas następująca równość:

display-math

Zauważmy, że twierdzenie Ptolemeusza jest rzeczywiście jej szczególnym przypadkiem, który zachodzi, gdy okręgi $\text{[math]}$ są punktami, czyli okręgami zdegenerowanymi.

Powyższe twierdzenie, zwane twierdzeniem Caseya, pozwala w wielu przypadkach podać bardzo krótkie dowody użytecznych faktów. Zobaczmy, jak możemy je wykorzystać do rozwiązania następującego zadania:

Zadanie. W koło o okręgu $\text{[math]}$ wpisano trójkąt równoramienny $\text{[math]}$ w którym $\text{[math]}$ W odcinek koła wyznaczony przez cięciwę $\text{[math]}$ do którego nie należy punkt $\text{[math]}$ wpisano okrąg $\text{[math]}$ Z punktu $\text{[math]}$ poprowadzono prostą styczną do okręgu $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że długość odcinka $\text{[math]}$ nie zależy od wyboru okręgu $\text{[math]}$

Oznaczmy przez $\text{[math]}$ punkt styczności okręgu $\text{[math]}$ z prostą $\text{[math]}$ (Rys. 3).

Zastosujmy twierdzenie Caseya do okręgów zdegenerowanych $\text{[math]}$ i okręgu $\text{[math]}$ Korzystając z tego, że $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ otrzymujemy równość $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ co kończy rozwiązanie zadania.

Więcej o broszurze Matematyka. Poszukuję – odkrywam można przeczytać na stronie internetowej www.omg.edu.pl.