Drobiazgi

O prostej Simsona raz jeszcze

Myślę, że niemal każdy Czytelnik miał okazję się z nią spotkać. Załóżmy, że mamy dany trójkąt, i wybierzmy dowolny punkt $\text{[math]}$ z okręgu na nim opisanego. Wówczas rzuty prostokątne punktu $\text{[math]}$ na proste zawierające boki danego trójkąta leżą na jednej prostej zwanej prostą Simsona.

Chyba najbardziej typowym dowodem tego faktu jest rachunek na kątach. Jednakże rozumowanie to ma pewną wadę: istnieje wiele możliwych konfiguracji (np. ta na rysunku 1, dość egzotyczna) i, aby je objąć jednym rachunkiem, trzeba uciec się do kątów skierowanych, co bywa nieczytelne dla osób niewprawionych w tego typu rozumowaniach. Istnieje jednak bardzo sprytny, krótki i przejrzysty dowód tego faktu, niewymagający ani kątów czy odcinków skierowanych, ani pracochłonnego rozważania wielu konfiguracji – oto on.

Dowód. Przyjmijmy, że punkt $\text{[math]}$ leży na łuku $\text{[math]}$ niezawierającym punktu $\text{[math]}$ okręgu opisanego na danym trójkącie $\text{[math]}$ Jeśli $\text{[math]}$ jest punktem leżącym na prostej $\text{[math]}$ po przeciwnej stronie punktu $\text{[math]}$ niż punkt $\text{[math]}$ to zachodzi równość $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie takim punktem na prostej $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ Oznaczając odpowiednio przez $\text{[math]}$ rzuty prostokątne punktu $\text{[math]}$ na proste $\text{[math]}$ stwierdzamy, że trójkąty prostokątne $\text{[math]}$ są podobne (Rys. 2). Mają więc taki sam kąt przy wierzchołku $\text{[math]}$ równy $\text{[math]}$ i stosunek przyprostokątnej przy wierzchołku $\text{[math]}$ do przeciwprostokątnej równy $\text{[math]}$ Rozważmy przekształcenie będące złożeniem obrotu względem $\text{[math]}$ o kąt $\text{[math]}$ (w kierunku od przeciwprostokątnej do przyprostokątnej) z jednokładnością o skali $\text{[math]}$ i środku w tym samym punkcie. Przekształcenie to jest podobieństwem, więc w szczególności obrazem każdej prostej jest prosta. Skoro punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są współliniowe, to ich obrazy $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ również, co kończy dowód.

Czytelnik Wnikliwy bez trudu zauważy, że jeśli zamiast rzutów prostokątnych weźmiemy „rzuty pod kątem $\text{[math]}$ ” (wszystkie kąty tak samo zorientowane, zobacz rysunek 3), to one również będą leżały na jednej prostej i powyższy dowód bez trudu przenosi się na uogólnione zadanie.