Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

LXII Olimpiada Matematyczna

13 i 14 kwietnia odbyły się zawody finałowe LXII OLimpiady Matematycznej. Każdego dnia zawodów 139 uczniów z całej Polski, przez trzysta minut, rozwiązywało trzy zadania. Wszystkie bezbłędnie rozwiązał Filip Borowiec z Kielc, a Maciej Dulęba z Wrocławia i Damian Orlef z Zabrza rozwiązali po pięć i pół.

Tym razem 126 finalistów rozwiązało przynajmniej jedno zadanie. Każdy z laureatów rozwiązał co najmniej trzy i pół zadania, a wyróżnieni po trzy. Finał był więc na pewno łatwiejszy niż przed rokiem.

Z zadaniami finału oraz szkicami ich rozwiązań można zapoznać się na stronie olimpiady pod adresem: www.om.edu.pl.

Niektórzy finaliści rozwiązali zadania bardzo elegancko w sposób nieprzewidziany przez osoby przygotowujące zadania. Omówimy dwa rozwiązania zadania drugiego. Różnią się one jedynie dowodem lematu.

Dowód lematu wg Wojciecha Nadary (nagroda im. A. Mąkowskiego). Potęga punktu $\text{[math]}$ względem okręgu $\text{[math]}$ jest równa $\text{[math]}$ Tyle samo jest równa potęga punktu $\text{[math]}$ względem okręgu o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ (czyli zdegenerowanego do punktu $\text{[math]}$ ). Analogicznie potęga punktu $\text{[math]}$ względem okręgu $\text{[math]}$ jest równa potędze punktu $\text{[math]}$ względem okręgu zdegenerowanego do punktu $\text{[math]}$ Wobec tego jeśli punkt $\text{[math]}$ leży prostej $\text{[math]}$ to jego potęgi względem tych dwóch okręgów są równe (więc jest to ich oś potęgowa). Podobnie prosta $\text{[math]}$ jest osią potęgową okręgu $\text{[math]}$ i okręgu zdegenerowanego do punktu $\text{[math]}$ Wobec tego potęgi punktu $\text{[math]}$ względem każdego z okręgów zdegenerowanych do punktów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe (bo równe jego potędze względem okręgu $\text{[math]}$ ). Oznacza to, że $\text{[math]}$ a to teza lematu.

Dowód lematu wg Anny Olech. Niech $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ więc trójkąt $\text{[math]}$ jest ostrokątny. $\text{[math]}$ będą środkami odcinków $\text{[math]}$ Na czworokącie $\text{[math]}$ można opisać okrąg, bo $\text{[math]}$ oczywiście $\text{[math]}$ Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są symetralnymi odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ więc ich punkt przecięcia czyli $\text{[math]}$ jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ a to chcieliśmy udowodnić.