Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

O najtrudniejszym zadaniu VI OMG

W dniu $\text{[math]}$ marca $\text{[math]}$ roku w budynku Szkoły Przymierza Rodzin w Warszawie przy ulicy Grzegorzewskiej $\text{[math]}$ odbył się finał VI Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. W czasie trzech godzin uczestnicy zawodów zmagali się z pięcioma zadaniami finałowymi, z których jedno (naszym zdaniem najtrudniejsze) omawiamy poniżej.

Większość poprawnych rozwiązań tego zadania była podobna do rozwiązania zaproponowanego przez Komitet Główny OMG.

Uczestnicy zawodów znaleźli kilka innych rozwiązań tego zadania. Chcielibyśmy przedstawić jedno z nich. Rozwiązanie to opiera się na definicji środka ciężkości układu punktów materialnych. Załóżmy, że w punktach $\text{[math]}$ umieszczono masy $\text{[math]}$ Oznaczmy przez $\text{[math]}$ masę całego układu punktów $\text{[math]}$ oraz przez $\text{[math]}$ środek kartezjańskiego układu współrzędnych. Wtedy środkiem ciężkości tego układu punktów materialnych nazywamy taki punkt $\text{[math]}$ że

display-math

Nietrudno zauważyć, że wtedy dla dowolnego punktu $\text{[math]}$ zachodzi

display-math

Rozwiązanie z wykorzystaniem środka ciężkości. Niech środek układu współrzędnych $\text{[math]}$ znajduje się w środku rozważanego koła. W każdym z punktów $\text{[math]}$ umieszczamy masę $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie środkiem ciężkości tego układu punktów materialnych. Zauważamy, że $\text{[math]}$ jest punktem wewnętrznym koła, gdyż z nierówności trójkąta mamy $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie dowolnym punktem z brzegu rozważanego koła. Wtedy z definicji $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ Ponownie korzystając z nierówności trójkąta, otrzymujemy

display-math

Wystarczy więc tak wybrać punkt $\text{[math]}$ aby $\text{[math]}$ co zawsze jest możliwe (patrz rysunek).

Komunikat

W trakcie trwania zawodów finałowych VI OMG, o godzinie 11.00 w budynku Szkoły Przymierza Rodzin w Warszawie odbyło się Pierwsze Walne Zgromadzenie Delegatów Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Obecnych było 19 delegatów, co stanowi około 80% wszystkich wybranych delegatów.

Walne Zgromadzenie Delegatów SEM jednogłośnie przyjęło sprawozdanie z działalności Zarządu SEM oraz sprawozdanie z działalności Komisji Rewizyjnej SEM za ostatni rok sprawozdawczy.

W czasie dyskusji programowej poruszono dwa ważne tematy. Pierwszy to stworzenie internetowej bazy danych członków SEM ułatwiającej komunikację pomiędzy członkami. Drugim była organizacja czwartej konferencji SEM.