Na przykład, jest oczywiste, że dla dowolnego punktu zachodzi  Natomiast pierwszy przypadek zbioru z którym się zetknąłem, pochodzi z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. Poniżej podaję rozwiązanie jednego z uczestników.

Weźmy dowolną prostą przechodzącą przez Poprowadźmy do niej prostopadłą w i nazwijmy ją Przez będziemy oznaczać odległość punktu od prostej Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość oraz analogiczne równości dla punktów Wobec tego sumy kwadratów odległości od i wzięte razem dają Ponadto, ze względu na symetrię sytuacji, sumy odległości wierzchołków kwadratu od prostych i muszą być równe. Zatem suma kwadratów odległości od wynosi więc jest niezależna od wyboru

Inną metodą rozwiązania jest wykazanie najpierw, że i analogicznie ; stąd już łatwo wynika teza. Można wyobrazić sobie sporo przykładów opartych na podobnych obserwacjach. Próba znalezienia ogólnych warunków na to, kiedy zbiór jest niepusty, lub też kiedy dany punkt należy do zbioru w naturalny sposób prowadzi do poniższego twierdzenia. Podaje ono takie warunki wyrażone analitycznie, a ponadto pozwala na wyciąganie dość ogólnych wniosków, które zostaną zaprezentowane dalej.

Dowód. Wprowadźmy układ współrzędnych zespolonych. Liczbę zespoloną odpowiadającą punktowi będziemy oznaczać Sprawdźmy najpierw warunki równoważne temu, że Zamiast obliczać odległości naszych punktów od zmiennej prostej przechodzącej przez będziemy dla zmiennej liczby z okręgu jednostkowego liczyć odległości czyli obróconych wokół punktów od prostej urojonej. Zgodnie ze wzorem suma kwadratów odległości tych punktów od prostej urojonej to

Pierwszy człon jest stały, natomiast gdy przebiega okrąg jednostkowy, liczba w nawiasie przebiega okrąg o środku w Gdy część rzeczywista, oczywiście, jest zmienna – dlatego W przeciwnym przypadku rozważany okrąg jest zdegenerowany do punktu i wtedy

Otrzymaliśmy więc warunek konieczny i dostateczny dla zera. Aby sprawdzić warunek dla punktu wystarczy przesunąć nasze punkty o wektor Następujące warunki są więc równoważne warunkowi :

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które, oczywiście, ma jedno lub dwa rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych, przy czym ze wzoru Viète’a ich średnia arytmetyczna to czyli punkt

---

Korzystając z wyżej wykazanej własności zbioru można łatwo wyprowadzać kolejne. W szczególności, po dokładnym przyjrzeniu się dowodowi okazuje się, że warunek z definicji można znacząco osłabić.

Poniższe przykłady można rozwiązać przy użyciu układu współrzędnych (sprawdzając wyprowadzone w twierdzeniu warunki), ale łatwiej jest zastosować uzyskane wyniki jakościowe.

Zgodnie ze wspomnianym wnioskiem, aby wykazać należenie do zbioru wystarczy zauważyć, że ze względu na symetrię suma kwadratów odległości od prostych jest taka sama. Co prawda użyty argument wymaga naprawy dla ale na szczęście ten przypadek został już rozważony. Skoro to środek ciężkości rozważanych punktów, to zgodnie z twierdzeniem jest jedynym punktem zbioru

Zauważmy, że odległości  są równe. W związku z tym sumy kwadratów odległości wierzchołków rombu od prostych i także są równe. Oznacza to, że Stosując twierdzenie, otrzymujemy

W dalszej części mojej pracy zajmowałem się, między innymi, charakteryzacją zbiorów o jednoelementowym zbiorze to jest takich, że środek masy należy do zbioru Opisałem także geometryczne znaczenie zbioru gdy rozważamy zbiór wierzchołków trójkąta. Z możliwych dróg uogólnienia tego problemu szczególnie ciekawe wydaje mi się postawienie analogicznych pytań dla zbiorów w wyższych wymiarach. Otrzymane analitycznie warunki są podobne, ale nie doszedłem do dobrego opisu klasy takich skończonych zbiorów punktów przestrzeni co najmniej trójwymiarowej, które mają niepusty zbiór Można też zastanowić się nad dostosowaniem definicji zbioru do zbiorów nieskończonych.