Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

LXII Olimpiada Matematyczna

W roku szkolnym 2010/2011 Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej jest organizatorem LXII edycji Olimpiady Matematycznej. Od września do grudnia $\text{[math]}$ roku uczestnicy Olimpiady Matematycznej zmagali się z dwunastoma zadaniami domowymi pierwszego etapu zawodów

Do jedenastu Komitetów Okręgowych OM w całym kraju przysłano do oceny prace $\text{[math]}$ uczniów. Do zawodów drugiego stopnia zakwalifikowano 605 uczestników. Omówimy jedno z zadań pierwszego etapu LXII OM.

Z treści rozważanego zadania wynika, że prosta $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ Oznacza to, że prosta $\text{[math]}$ jest obrazem środkowej $\text{[math]}$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta $\text{[math]}$ Przedstawimy poniżej dwa inne rozwiązania zadania $\text{[math]}$ wykorzystujące własności symedian. Rozwiązania te nie są prostsze niż rozwiązanie już zaprezentowane, korzystają jednak z ciekawych faktów.

Fakt 1. W czworokącie $\text{[math]}$ wpisanym w okrąg przekątne przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Jeżeli $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ (Rys. 2).

Rozwiązanie zadania 8 oparte na fakcie 1. Niech $\text{[math]}$ będzie punktem przecięcia prostej $\text{[math]}$ z okręgiem opisanym na $\text{[math]}$ różnym od punktu $\text{[math]}$ (Rys. 3). Wówczas $\text{[math]}$ jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Ponadto z założenia $\text{[math]}$ Z faktu $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ Równość $\text{[math]}$ oznacza, że $\text{[math]}$ jest środkową w $\text{[math]}$ Więc $\text{[math]}$ jest środkową w $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Ponadto $\text{[math]}$ jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Ostatecznie $\text{[math]}$

Fakt 2. Jeżeli $\text{[math]}$ jest symedianą w $\text{[math]}$ to styczne do okręgu opisanego na $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz prosta $\text{[math]}$ są współpękowe (Rys. 4).

Rozwiązanie zadania 8 oparte na fakcie 2. Niech styczne do okręgu opisanego na $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ (Rys. 5). Z faktu 2 prosta $\text{[math]}$ jako symediana w $\text{[math]}$ przechodzi przez $\text{[math]}$ Mamy zatem $\text{[math]}$ z twierdzenia o kącie pomiędzy styczną i cięciwą. Z założenia $\text{[math]}$ więc punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu. Z równości $\text{[math]}$ wynika, że $\text{[math]}$ co jest tezą zadania.