Odpowiedź, że trójkąt III, była oczywista. Trochę mniej oczywiste było to, że pozostałe trójkąty nie są przystające. Wtedy zadałem sobie pytanie: jak bez twierdzenia Pitagorasa (a jeszcze go nie było!) przekonać moich uczniów, że jakieś odcinki narysowane na papierze w kratkę są lub nie są równe? Weźmy najprostszy przykład. Jak pokazać, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4 ma długość 5? Inaczej mówiąc, jak pokazać, że trójkąt na rysunku obok jest równoramienny? Okazało się to dość łatwe. Potrzebne były trzy rysunki pomocnicze. Z lewej strony mamy pierwszy z nich. Jak pokazać, że punkty i  są współliniowe? Uczniowie szybko dostrzegli przystające trójkąty i  (rys. z prawej strony). Zatem kąty i  są równe, więc z twierdzenia o kątach wierzchołkowych (nikt nie zawracał tu sobie głowy czymś takim, jak twierdzenie odwrotne…) wynika, że punkty i  są współliniowe. A więc punkty i  na następnym rysunku też są współliniowe. Potrzebny był jeszcze kąt Narysowałem trzeci rysunek i zapytałem, jak dowieść, że kąt jest prosty? Uczniowie zaproponowali kilka rozwiązań. Najprostsze z nich polegało na zauważeniu, że trójkąty i są przystające, zatem „to, co z kąta prostego zabraliśmy kątem oddaliśmy z powrotem kątem ”. Mogliśmy teraz powrócić do pierwszego rysunku, na którym dorysowaliśmy odcinek Uczniowie już natychmiast dostrzegli, że trójkąty i  są przystające, więc =

Niektórzy uczniowie byli nieco zdziwieni tym, że taki odcinek „ukośny” okazał się być równy „prostemu” (tzn. poziomemu). Trochę mnie zastanowiła pełna zdegustowania mina jednej uczennicy, zdająca się mówić: i po co to wszystko? Zrozumiałem po najbliższej klasówce, na której dałem zadanie podobne z trójkątem o przyprostokątnych 5 i 12. Rozwiązanie tej uczennicy było krótkie:

Te proste dowody geometryczne nie odwołujące się do twierdzenia Pitagorasa, skłoniły mnie do zastanowienia się nad geometrycznym rozwiązaniem równania Pitagorasa w liczbach całkowitych. Przedstawię teraz to rozwiązanie. Mamy więc równanie

i zakładamy, że i  są całkowite. Łatwo pokazujemy, że co najmniej jedna z liczb i  jest parzysta. Gdyby bowiem

to

więc liczba byłaby parzysta i niepodzielna przez 4, co jest niemożliwe. Załóżmy zatem, że liczba jest parzysta. Zauważmy, że wtedy liczby i  są tej samej parzystości. Narysujmy teraz trójkąt prostokątny o bokach i  na papierze kratkowanym tak jak na rysunku obok. Wierzchołki i  leżą w punktach kratowych, przy czym:

Ponieważ liczby i  są parzyste, więc środek odcinka też leży w punkcie kratowym. Zastanówmy się teraz, jakie punkty kratowe mogą leżeć na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego położonego w taki sposób, że przyprostokątne leżą na liniach tworzących kratki.

Dowód lematu wynika dość łatwo z twierdzenia Talesa, ale poradzimy sobie bez niego.

---

Powróćmy do naszego trójkąta prostokątnego o bokach długości i  Niech będzie punktem kratowym leżącym na odcinku najbliżej punktu a jego rzutem na

Niech następnie i  Z lematu 2 wynika, że Z wniosku wynika, że istnieje liczba całkowita taka, że

gdzie jest rzutem na Odłóżmy następnie odcinek na półprostej i niech będzie takim punktem półprostej że Ponieważ więc kąty i  są równe, a zatem trójkąty i  są przystające. Stąd wynika, że więc punkt  jest punktem kratowym. Z lematu 1 wynika, że istnieje liczba całkowita taka, że

Zatem

skąd wynika, że jest dzielnikiem Ponieważ liczby i  są względnie pierwsze, więc jest dzielnikiem Istnieje więc liczba całkowita taka, że Mamy teraz

czyli Zatem

skąd ostatecznie dostajemy

(1)

Dla każdego rozwiązania równania

istnieją liczby całkowite i  takie, że spełnione są równości  Z drugiej strony, łatwo sprawdzić, że jeśli i  są określone wzorami  to spełniają równanie Pitagorasa.