Deltoid

Twierdzenie Cevy

Delta, luty 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Wersja do druku [application/pdf]: (75 KB)

W wielu zadaniach dane są trzy proste, które albo przecinają się w jednym punkcie, albo należy to o nich udowodnić. Wygodnym narzędziem bywa wtedy twierdzenie Cevy.

Twierdzenie. Punkty $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ (Rys. 1). Wówczas proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

display-math

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (75 KB)

Rys. 1

Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia

display-math

Rozwiązanie

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną i z twierdzenia Cevy mamy

display-math

Stąd najmniejszą wartością sumy jest 3. Kiedy jest ona osiągana?

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (75 KB)

Punkty $\text{[math]}$ są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ odpowiednio do boków $\text{[math]}$ . Wykaż, że proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie (tzw. punkcie Gergonne’a).

Rozwiązanie

Zachodzą następujące równości odcinków stycznych do okręgu: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Stąd

display-math

co na mocy twierdzenia Cevy kończy dowód.

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (75 KB)

Punkty $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie. Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają prostą równoległą do $\text{[math]}$ przechodzącą przez punkt $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ . Udowodnij, że punkt $\text{[math]}$ jest środkiem odcinka $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Skoro $\text{[math]}$ , to $\text{[math]}$ Stąd

display-math

Z twierdzenia Cevy otrzymujemy tezę:

display-math

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (75 KB)

Dane są rozłączne zewnętrznie okręgi $\text{[math]}$ o środkach odpowiednio $\text{[math]}$ Te dwie styczne do obu okręgów $\text{[math]}$ które rozdzielają te okręgi, przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zdefiniowane są analogicznie. Wykaż, że proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.

Wskazówka

Punkty $\text{[math]}$ są współliniowe i z twierdzenia Talesa

display-math

Zadania do domu:

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (75 KB)

Punkty $\text{[math]}$ są punktami styczności okręgów dopisanych do trójkąta $\text{[math]}$ odpowiednio do boków $\text{[math]}$ Wykaż, że proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie (tzw. punkcie Nagela).

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011

Punkty $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ trójkąta ostrokątnego $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Wykaż, że proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011

Wykaż, że w jednym punkcie przecinają się: środkowe dowolnego trójkąta, dwusieczne dowolnego trójkąta, wysokości trójkąta ostrokątnego.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Cevy»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: L Olimpiada Matematyczna, rozwiązanie można znaleźć na stronie www.om.edu.pl
Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Cevy
Publikacja w Delcie: luty 2011
Publikacja elektroniczna: 01-02-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (75 KB)

Przekątne $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ czworokąta wypukłego $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ jest środkiem boku $\text{[math]}$ Prosta $\text{[math]}$ przecina bok $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Udowodnij, że stosunek pól trójkątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ jest równy stosunkowi długości odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności