Ogródek Gardnera
Lehmus, Steiner, Gardner
Powszechnie znany jest fakt, że w trójkącie równoramiennym dwie dwusieczne mają równe długości, podobnie jak dwie wysokości i dwie środkowe. Naturalne jest pytanie: a odwrotnie, czy równość dwóch ze wspomnianych wielkości gwarantuje równoramienność trójkąta?
Dla dwóch wysokości i dwóch środkowych jest to proste zadanie (może Czytelnik zechce sobie przypomnieć, jak to się robi). Wydaje się, że w przypadku dwóch dwusiecznych też powinno pójść łatwo, a jednak... Jakoś trudno od razu znaleźć prosty geometryczny dowód. Można w ostateczności wykorzystać rachunki, lecz nie o to chodzi. Przed podobnym problemem stanął w 1840 roku Daniel Christian Ludolph Lehmus: jak geometrycznie, bez długich rachunków, udowodnić ten fakt? Wysłał to pytanie do J.Ch.F. Sturma, ten, między innymi, do Jacoba Steinera, który dowód przedstawił. Później pojawiło się wiele innych dowodów, a i sam Lehmus też w końcu twierdzenie udowodnił.
Twierdzenie, nazwane twierdzeniem Steinera–Lehmusa, rozpropagował ponownie Martin Gardner w Scientific American (nr 204, 1961, str. 166–168) przy okazji recenzji książki H.S.M. Coxetera Introduction to Geometry (znanej w Polsce jako Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Otrzymał potem od czytelników setki listów z dowodami. Przeanalizował wszystkie i wybrał, jego zdaniem, najprostszy. Dowód ten, którego autorami byli dwaj angielscy inżynierowie, G. Gilbert i D. McDonnell, można znaleźć w The American Mathematical Monthly (7, 1963, str. 79–80). Zobaczmy, jak wygląda to rozumowanie. Jego podstawowym pomysłem jest udowodnienie „innego” spostrzeżenia na temat dwusiecznych:
Fakt. Jeśli w trójkącie są dwa różne kąty wewnętrzne, to dwusieczna wychodząca z kąta mniejszego ma większą długość niż dwusieczna wychodząca z kąta większego.
Korzystając z niego, stwierdzamy: skoro trójkąt nierównoramienny ma każdą dwusieczną innej długości, więc taki, w którym dwie dwusieczne są równe, równoramienny być musi.

Poszło gładko, więc wypada jeszcze udowodnić spostrzeżenie, z którego
skorzystaliśmy. Rozważmy zatem trójkąt
, w którym
. Niech
i
będą dwusiecznymi
odpowiednich kątów. Na
wybierzmy taki punkt
,
żeby

Stąd
. Punkty
,
,
i
leżą na jednym okręgu, ponieważ
. Teraz
zauważmy, że

A stąd wynika, że
, czyli
.
Pierwsza nierówność bierze się stąd, że mniejszemu kątowi wpisanemu
w okrąg odpowiada krótsza cięciwa, na której się ten kąt opiera (proszę
sprawdzić).
Podobno nieopublikowany dowód Lehmusa wyglądał dokładnie tak samo...