Drobiazgi

Skąd mógł to wiedzieć?

W $3 Δ18$ (Z notatnika geniusza) i w tym numerze (Zagnieżdżone pierwiastki) przedstawione są różne zależności liczbowe pochodzące od Ramanujana. Robią ogromne wrażenie, tym bardziej że Ramanujan podał je bez uzasadnień i dla nas mają status natchnionej wizji...

Warto zauważyć, że takie wizjonerskie przedstawianie matematycznych faktów trafiało się wielokrotnie. Zbiorem takich wizji jest ogromne dzieło Diofantosa (które będzie przywołane w $∆ 1018$ ) powstałe dwa tysiące lat temu, a dotyczące teorii liczb.

W szczególności znajduje się tam stwierdzenie, że dla dowolnych liczb całkowitych $a,b,c,d$ wyrażenie $(a2 +b2)(c2 +d2)$ też da się przedstawić jako suma kwadratów dwóch liczb całkowitych i to na dwa sposoby. Zamiast dowodu jest tam po prostu napisane, jakie są to liczby: $|ac− bd$ i $|ad +bc$ lub $|ac+ bd$ i $|ad −bc$ ; dla przykładu, biorąc 2, 4, 3 i 5, otrzymamy

(4+ 16)(9 +25) = (6− 20)2 +(10 +12)2 = (10 − 12)2 +(6 + 20)2,

proszę sprawdzić.

Dziś ta prawidłowość kojarzy się z twierdzeniem o liczbach zespolonych, które mówi, że moduł iloczynu równa się iloczynowi modułów, ale jak mógł to dostrzec Diofantos?