Drobiazgi

Dlaczego pierwiastek z 2. nie pasuje do liczb wymiernych?

Zupełnie nieszokująca zasada dobrego uporządkowania mówi, że każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Pokażemy, jak ją wykorzystać do wykazania, że $√ -- | 2$ jest niewymierne, czyli że dla żadnej liczby naturalnej $n$ liczba $√ -- |n 2$ nie jest całkowita.

Niech $√ -- |S = {n ∈ N n 2 ∈Z}.$ Załóżmy, że zbiór $S$ jest niepusty. Oczywiście, $S ⊂ N,$ więc z zasady dobrego uporządkowania zbiór $|S$ ma element najmniejszy (być może nie jest on jedyny). Niech tym elementem będzie $k ∈N.$ Rozważmy następującą liczbę: $-- (√ 2 −1)k.$ Skoro $k ∈S,$ to $√ -- | 2k∈ Z.$ Zatem $√ -- | 2k −k ∈ Z$ oraz

√ -- √ -- √ -- ( 2 − 1)k 2 = 2k − 2k > 0.

Zauważmy, że $|2k ∈N$ oraz $√ -- | 2k∈ Z,$ więc $√ -- 2k − 2k∈ Z.$ W takim razie $√-- |( 2 − 1)k∈ S,$ ale $√ -- ( 2 −1)k < k,$ a założyliśmy, że $|k$ jest elementem najmniejszym ze zbioru $|S.$ Zatem otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że $S$ jest niepustym zbiorem.