Liczby zespolone czterema sposobami

Jeżeli określimy dodawanie i mnożenie punktów płaszczyzny, z wyróżnionymi punktami 0 i 1, w sposób przedstawiony na rysunku, to otrzymamy liczby zespolone...

Suma to taki punkt, że $0z1 z1 z2 z2$ jest równoległobokiem; iloczyn to taki punkt, że trójkąty $|01z 1$ i $0z z z 2 1 2$ są podobne i mają tę samą orientację.

Ten szybki, jasny sposób wprowadzenia liczb zespolonych - zwany geometrycznym - okazał się jednak mało praktyczny. Spójrzmy teraz na te liczby inaczej, jak na wektory o początku w 0. Ponieważ wszystkie mają ten sam początek, więc będziemy je nazywać tak jak ich końce. Każdy z nich może być uzyskany z wektora 1 za pomocą podobieństwa spiralnego o środku 0 (podobieństwo spiralne to złożenie jednokładności i obrotu o tym samym środku; jedynie wtedy obojętna jest kolejność wykonywania tych przekształceń). Dodawanie liczb zespolonych w tej postaci - nazwijmy ją wektorową - to składanie przesunięć odpowiadających składnikom, natomiast mnożenie to składanie podobieństw spiralnych (proszę na rysunku sprawdzić, że wektor 1 przy wykonaniu podobieństw spiralnych, odpowiadających $z 1$ i $z , 2$ stanie się wektorem $(z1⋅z2)$ ).

Takie ujęcie liczb zespolonych pozwala zauważyć, że każda z nich jest określona przez liczbę $r$ mówiącą, ile razy musiał się przedłużyć wektor 1, aby ją otrzymać i liczbę $φ$ mówiącą, o jaki kąt wektor 1 musiał się obrócić. Pierwszą z tych liczb nazywamy modułem liczby zespolonej, a drugą argumentem. Jeżeli przedstawimy liczbę zespoloną w postaci $|(r,φ ),$ to - wobec powyższych uwag - wzór na mnożenie będzie wyglądał tak:

(r1,φ1)⋅(r2,φ2) = (r1⋅r2,φ1 + φ2).

Przetłumaczenie tego na zwykłe współrzędne kartezjańskie daje (bez rachunków!) wzór zwany nazwiskiem de Moivre'a

r1(cos φ1,sin φ1)⋅r2(cosφ2,sinφ 2) = (r1⋅r2)(cos(φ 1 +φ 2),sin(φ 1 + φ2)),

co łatwo się uogólnia na wzory mówiące o potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb zespolonych.

Trzecia postać liczb zespolonych to przedstawienie ich bezpośrednio za pomocą współrzędnych kartezjańskich. Dodawanie ma wówczas bardzo prostą postać

(a,b) + (c,d) = (a + c,b+ d),

bo tak się przecież dodaje wektory. Natomiast wzór de Moivre'a pozwala zobaczyć, że i wzór na mnożenie nie jest wiele bardziej skomplikowany:

(a,b) ⋅(c,d) = (ac − bd,ad + bc).

(1)

Dowód. Jeśli $|(a,b) = (r1cosφ 1,r1sinφ 1),$ a $|(c,d) = (r2cos φ2,r2sin φ2),$ to

$pict$

Można uczynić teraz dwie obserwacje. Pierwsza to ta, że każda liczba zespolona da się przedstawić jako

(a,b) = a(1,0) + b(0,1).

Zauważmy, że $(1,0)$ to po prostu 1 - każdy może sprawdzić, jak się przez $|(1,0)$ mnoży. Natomiast

2 (0,1) = (0 ⋅0− 1⋅1,0⋅1 +1 ⋅0) = (−1,0),

co jest zwykłą minus jedynką, i to też można sprawdzić mnożąc. Liczba $|(0,1)$ jest oznaczana przez $|i$ (od imaginarius), nazywana jednostką urojoną i stanowi wielką tajemnicę dla różnego rodzaju filozofów (bo jak to możliwe, aby kwadrat był ujemny...). Tak algebraicznie ujęte liczby zespolone to sumy $a +ib,$ gdzie $|a$ i $b$ to liczby rzeczywiste. Rachunki na nich przeprowadza się tak jak na wielomianach, pamiętając zawsze, że $|i2 = −1.$ Na przykład wzór na mnożenie wyprowadza się przy tej interpretacji tak:

(a + ib) ⋅(c+ id) = ac+ aid + ibc + i2bd = (ac − bd) + i(ad + bc).

Jest to najstarszy i najczęściej stosowany sposób używania liczb zespolonych.