Symetrie ciał i grupy: teoria Galois

Poniższa opowieść była na tyle ważna dla młodego, zaledwie dwudziestoletniego, matematyka Évariste'a Galois, że poświęcił ostatni dzień przed pojedynkiem, aby spisać ją w liście do przyjaciela. Niestety, nie dostał od losu szansy na kontynuowanie swoich prac, ale jakiś czas po jego śmierci matematycy zrozumieli znaczenie jego pomysłów. Ślady teorii, z której zarysem Czytelnik zapoznać się może w dalszej części artykułu, odnaleźć można w wielu gałęziach współczesnej matematyki. Jej bezpośrednim następstwem jest wiele efektownych rozwiązań problemów, których ludzkość szukała przez setki lat: nierozwiązalność (przez pierwiastniki) równań wielomianowych stopnia 5 lub wyższego, niekonstruowalność pewnych wielokątów foremnych (cyrklem i linijką), a także niewykonalność klasycznych konstrukcji geometrycznych, czyli podwojenia sześcianu, trysekcji kąta i kwadratury koła.

Pierwiastki wielomianów.

Zbiór liczb wymiernych $Q$ jest przydatny i przyjazny użytkownikowi, ale jednak mocno wybrakowany. Zwykle dostrzegamy jego braki, patrząc na dopuszczalne rozwinięcia dziesiętne: liczby wymierne mogą mieć tylko skończone lub okresowe od pewnego miejsca rozwinięcia. Tym razem spójrzmy na ten problem z punktu widzenia wielomianów. Znajdźmy, na przykład, pierwiastki wielomianu $2 |x − 2.$ Dostajemy dwie możliwości: $√ -- |x = 2$ i $√ -- x = − 2.$ Żadna z nich nie jest liczbą wymierną - przeczyłoby to podstawowym własnościom podzielności. Stąd wniosek, że zbiór $Q$ jest za mały, żebyśmy mogli znaleźć wewnątrz niego rozwiązania dla wszystkich równań wielomianowych mających wymierne współczynniki, czyli w pewnym sensie pochodzących od tego zbioru.

Ta własność potrafi dawać jeszcze ciekawszy efekt: jeśli chcemy znaleźć pierwiastki wielomianu $|x2 + 1,$ to musimy wyjść poza zbiór liczb rzeczywistych. Rozwiązaniami są jednostka urojona $i$ oraz liczba do niej przeciwna $− i,$ tak zwane pierwiastki kwadratowe z minus jedynki. Widzimy zatem, że pewne liczby niewymierne, a nawet nierzeczywiste, pojawiają się naturalnie w okolicach zbioru liczb wymiernych za sprawą wielomianów.

Rozszerzenia ciał.

W tej sytuacji wygodnie byłoby rozważać zbiór liczb wymiernych z dodanymi $√ -- ± 2$ lub $|±i,$ lub innym zestawem pierwiastków pewnego wielomianu. Tylko trzeba odpowiednio się za to zabrać - zadbać o zachowanie pewnych podstawowych własności algebraicznych. O zbiorze $|Q$ mówimy, że jest ciałem, co oznacza, że jego elementy możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (z wyjątkiem zera, przez które nie chcemy dzielić), i w wyniku tych działań zawsze otrzymujemy elementy tego samego zbioru, liczby wymierne. Jeśli teraz chcemy rozszerzyć ciało $|Q$ o pewien element, to wymagamy, żeby efektem takiej operacji też było ciało. To oznacza, że będziemy rozważać zbiór otrzymany ze wszystkich możliwych wyników kombinacji czterech podstawowych działań na liczbach wymiernych i dodanym elemencie (lub elementach). Na przykład, jeśli rozszerzamy $Q$ o $√ -- | 2$ (lub o $√ -- |− 2$ ), to otrzymujemy ciało oznaczane $√ -- Q( 2),$ które składa się ze wszystkich liczb postaci $a +b √2,$ gdzie $a,b ∈Q.$ Czytelnik Wnikliwy sprawdzi, że suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb tej postaci również jest tej postaci.

Ogólnie, rozszerzenie $Q$ o liczby $a1,...,ak$ oznaczamy $|Q(a1,...,ak)$ i definiujemy jako najmniejszy zbiór zamknięty na operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia zawierający cały zbiór $Q$ oraz $|a,...,a . 1 k$ Jeśli $a ,...,a 1 k$ są pierwiastkami pewnych wielomianów o współczynnikach wymiernych, to będziemy je nazywać elementami algebraicznymi nad $Q$ , a rozszerzenie $Q ⊂ Q(a1, ...,ak)$ - rozszerzeniem algebraicznym.

Stopień rozszerzenia.

Przyjrzyjmy się dokładniej rozszerzeniom $Q$ o jeden element algebraiczny nad $|Q,$ czyli ciałom postaci $Q(a).$ To ograniczenie okazuje się w pełni uprawnione, ponieważ, jak mówi twierdzenie Abela, dowolne rozszerzenie algebraiczne można przedstawić jako rozszerzenie o jeden element. Znalezienie go może nie być łatwe, ale istnieją też proste przypadki.

Na przykład ciało $k = Q( √ 2,√ 3) 1$ jest tym samym co $k = Q( √2-+ √ 3). 2$ Oczywiście $|k2⊂ k1,$ ponieważ $Q$ i element $√ -- √ -- | 2+ 3,$ który generuje rozszerzenie, należą do $k1.$ A jak sprawdzić, że $k1⊂ k2?$ Wystarczy przedstawić $√ -- | 2$ i $√ -- | 3$ jako elementy $k2.$ Zauważmy, że $√ -- √ -- √ -- ( 2+ 3)2 = 5 + 2 6∈ k2.$ Ponieważ mamy do dyspozycji wszystkie liczby wymierne i podstawowe działania, więc możemy otrzymać $√ -- | 6,$ nie wychodząc poza $k2.$ Spójrzmy na wynik mnożenia $√ --√ -- √ -- √ -- √ -- | 6( 2 + 3) = 2 3+ 3 2.$ Odejmując od niego dwu- lub trzykrotność $√ -- √ -- | 2 + 3$ i dzieląc przez liczbę całkowitą, dowiadujemy się, że $|√ 2∈ k 2$ i $|√ 3∈ k , 2$ a zatem $k ⊂ k . 1 2$

Dlaczego wolimy pracować z rozszerzeniami o jeden element? W tej sytuacji łatwiej jest opisać postać wszystkich elementów rozszerzenia algebraicznego i określić pewne jego parametry. Z definicji element $a,$ o który rozszerzamy $Q,$ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach w $Q.$ Ale takich wielomianów może być wiele… Na przykład, $i$ jest pierwiastkiem $x4 −1$ (czyli jest pierwiastkiem 4 stopnia z 1), ale ten wielomian możemy zapisać jako iloczyn $(x2− 1)(x2 + 1),$ gdzie $i$ jest pierwiastkiem drugiego czynnika. Który więc wybrać? Wystarczy powiedzieć, że bierzemy wielomian (o współczynnikach wymiernych) najniższego możliwego stopnia, którego $a$ jest pierwiastkiem; nazwiemy go wielomianem minimalnym dla $|a.$ To określa go jednoznacznie z dokładnością do mnożenia przez stałą, więc wybieramy zawsze ten, który ma współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $|x$ równy 1.

Stopniem rozszerzenia $|Q ⊂ Q(a)$ będziemy nazywać po prostu stopień wielomianu minimalnego dla $a.$ Ta liczba określa również liczbę różnych potęg $a,$ których musimy użyć, żeby opisać wszystkie elementy ciała $Q(a)$ bez dodatkowych mnożeń przez liczby inne niż wymierne. Można powiedzieć, że stopień rozszerzenia $Q ⊂ Q(a)$ to wymiar $|Q(a)$ jako przestrzeni liniowej nad $Q.$ Dokładniej, jeśli $|Q ⊂ Q(a)$ jest rozszerzeniem stopnia $n,$ to wszystkie elementy $|Q(a)$ są postaci $p0 + p1a+ p2a2 + ...+pn −1an−1,$ gdzie $p0,...,pn−1$ są liczbami wymiernymi. Argument opiera się na spostrzeżeniu, że $n |a$ umiemy tak przedstawić - w końcu $|a$ jest pierwiastkiem wielomianu $|xn + pn−1xn−1 + ...+p1x + p0$ o współczynnikach z $Q.$

Wobec tego rozszerzenie $√ -- |Q ⊂ Q( 2)$ jest stopnia 2, a wielomianem minimalnym dla $√ -- | 2$ jest $x2 − 2.$ Podobnie $Q ⊂ Q(i)$ jest rozszerzeniem stopnia 2. A czy rozszerzenie $|Q ⊂ Q( ζ3)$ o pierwiastek trzeciego stopnia z 1 (czyli pierwiastek wielomianu $x3 − 1$ ) jest stopnia 3? Otóż nie - to również jest rozszerzenie stopnia 2. Wielomian $3 x −1$ można rozłożyć na czynniki $(x2 + x + 1)(x− 1),$ a pierwiastkami pierwszego czynnika są $|ζ3$ i $ζ32.$ Zatem $|x2 + x + 1$ jest wielomianem minimalnym dla $ζ3$ i dla $|ζ2. 3$

Jeszcze ciekawszy przykład.

Czy podobnie jest z pierwiastkiem trzeciego stopnia z 2? Nie, tym razem dostajemy rozszerzenie $√ -- Q ⊂ Q( 32)$ stopnia 3, a wielomian minimalny dla $√ -- |32$ to $|x3− 2,$ którego pozostałymi pierwiastkami są $ζ 3√ 2- 3$ i $ζ23√ 2. 3$ Zauważmy jednak, że $√3-- Q( 2)$ nie zawiera tych dwóch pozostałych pierwiastków - to ciało jest zawarte w ciele liczb rzeczywistych, do którego $√3-- |ζ3 2$ i $√3-- |ζ23 2$ nie należą. Żeby otrzymać najmniejsze ciało zawierające wszystkie pierwiastki $|x3− 2,$ tak zwane ciało rozkładu tego wielomianu, trzeba rozszerzyć $√ -- |Q( 32)$ o pozostałe pierwiastki (wystarczy wziąć jeden z nich). Tak samo, jak wcześniej rozszerzaliśmy $Q$ o pewne elementy algebraiczne, możemy rozszerzać dowolne inne ciało!

Możemy też obliczyć stopień takiego rozszerzenia $√3-- √3-- √3-- √3-- √3-- |Q( 2) ⊂ Q( 2)(ζ3 2) = Q( 2,ζ3 2).$ W tym celu trzeba znaleźć wielomian minimalny dla $√3-- ζ3 2$ o współczynnikach w $3√ -- Q( 2).$ Oczywistym kandydatem jest $x3− 2$ ; ma współczynniki z dobrego ciała, jednak okazuje się za duży. Ale jeśli podzielimy go przez $|x− √3 2,$ to dostaniemy szukany wielomian minimalny: $2 √3-- 3√ --2 |x + 2x + ( 2).$ To oznacza, że badane rozszerzenie jest stopnia 2. Możemy też popatrzeć na oba rozszerzenia razem, czyli na wieżę rozszerzeń $√ -- √ -- √ -- Q ⊂ Q( 32) ⊂ Q( 32,ζ3 32),$ i, zapominając o środkowym ciele, rozważyć rozszerzenie $|Q ⊂ Q( 3√ 2,ζ√3 2). 3$ Ponieważ stopnie rozszerzeń w wieżach się mnożą, to rozszerzenie jest stopnia 6.

Symetrie, czyli automorfizmy.

Jak zauważyliśmy wcześniej, rozszerzenie $|Q$ o $i$ oraz o $−i$ są tym samym. Co więcej, położenia tych elementów w ciele $Q(i)$ są w pewnym sensie symetryczne. Dokładniej, umiemy tak przekształcić ciało $|Q(i)$ na nie samo, żeby zamienić $|i$ z $|−i.$ Oczywiście, to nie może być byle jakie przekształcenie - wymagamy, żeby było bijekcją i respektowało strukturę ciała, czyli podstawowe operacje. Przekształcenie $|σ$ musi zachowywać sumę: $|σ(a + b) = σ(a) + σ(b)$ dla dowolnych $|a,b ∈Q(i),$ i analogicznie dla odejmowania, mnożenia i dzielenia (a stąd $|σ(1) = 1$ i $σ(0) = 0$ ). Takie przekształcenie ciała nazywamy jego automorfizmem. W przypadku $Q(i)$ okazuje się, że żądane własności ma sprzężenie liczb zespolonych: $σ(a + bi) = a − bi.$ Zauważmy, że ten automorfizm trzyma w miejscu liczby wymierne: dla każdego $|q∈ Q$ mamy $|σ(q) = q.$

I tu pojawia się kolejna struktura algebraiczna: grupa. Spójrzmy na zbiór wszystkich automorfizmów wybranego ciała - możemy je składać i odwracać! Nietrudno sprawdzić, że przy obu tych operacjach będziemy dostawać przekształcenia zachowujące podstawowe działania. Mamy też automorfizm trywialny, przeprowadzający każdy element na niego samego; składanie z nim nic nie zmienia. To wszystko znaczy właśnie, że automorfizmy ciała tworzą grupę: zbiór z odwracalnym działaniem (nazywanym zwyczajowo mnożeniem).

Grupa automorfizmów ciała będącego rozszerzeniem algebraicznym $Q$ nie może być zbyt duża - liczba jej elementów nie przekracza stopnia rozszerzenia. Łatwo to wykazać, jeśli umiemy opisać rozszerzenie za pomocą jednego dodawanego elementu $a.$ Co wtedy dzieje się z wielomianem minimalnym dla $a$ przy automorfizmie $|σ?$ Nic! Jego współczynniki pochodzą z ciała zachowywanego przez $σ,$ więc wielomian pozostaje bez zmian. A ponieważ $a$ jest jego pierwiastkiem, więc $|σ(a)$ też musi być jego pierwiastkiem. Teraz wystarczy zauważyć, że wybór wartości $σ(a)$ określa $σ$ jednoznacznie, mamy więc co najwyżej tyle różnych automorfizmów, ile (różnych) pierwiastków wielomianu minimalnego.

I wreszcie twierdzenia.

Galois interesował się specjalnym rodzajem automorfizmów ciał. Dla ustalonego rozszerzenia $k1 ⊂ k2$ szukał takich automorfizmów ciała $k2,$ które trzymają w miejscu wszystkie elementy $k1.$ Tak wybrane automorfizmy też tworzą grupę, nazywaną grupą Galois rozszerzenia i oznaczaną $(k2/k1), G$ zwykle trochę mniejszą niż grupa wszystkich automorfizmów $|k . 2$ Badał też przejście w drugą stronę, od grupy do rozszerzenia ciał. Dla dowolnej podgrupy $(k2/k1), H$ czyli mniejszej grupy zawartej w większej, można wyznaczyć zbiór wspólnych punktów stałych wszystkich automorfizmów $|H.$ Okazuje się, że to też będzie ciało $k | , H$ leżące gdzieś pomiędzy $|k1$ i $|k2,$ a więc tworzące z nimi wieżę rozszerzeń $|k1⊂ kH ⊂ k2.$

Powiemy, że rozszerzenie $k1 ⊂k2$ jest rozszerzeniem Galois, jeśli wykonanie kolejno obu tych operacji powoduje powrót do punktu wyjścia, czyli jeśli elementy ciała $k2$ trzymane w miejscu przez każdy automorfizm z grupy $(k/k)G 21$ to dokładnie elementy ciała $k . 1$ Główny wynik Galois to obserwacja, że rozszerzenia Galois zachowują się bardzo porządnie względem opisanych dwóch operacji. Na tyle porządnie, że, w pewnym zakresie, zamiast badać duże zbiory o złożonej strukturze - ciała i ich rozszerzenia - możemy odczytywać informacje ze struktury ich grup symetrii, zwykle znacznie prostszej. A dokładnie, opisane operacje brania grupy Galois rozszerzenia i brania ciała punktów stałych grupy automorfizmów zadają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między ciałami $kH$ leżącymi w środku rozszerzenia Galois $|(k ⊂ k ⊂ k ) 1 H 2$ a podgrupami grupy Galois $(k2/k1).H$ Co więcej, ta odpowiedniość pozwala sprawdzić, kiedy rozszerzenie $k1 ⊂ kH$ jest rozszerzeniem Galois (natomiast $kH ⊂ k2$ zawsze jest Galois). Dzieje się tak wtedy, gdy podgrupa $(k2/k1) |H$ ma dobre własności: jest tak zwaną podgrupą normalną, czyli niezmienniczą ze względu na pewną klasę automorfizmów $(k2/k1), G$ nazywanych sprzężeniami. Co ciekawe, pojęcie podgrupy normalnej pojawia się w bardzo wielu zagadnieniach algebraicznych, ale pierwszy raz zostało wyszczególnione właśnie przez Galois przy okazji powyższego twierdzenia.

Jak to wygląda w praktyce?

Wróćmy do przykładu $3√ -- 3√-- Q ⊂ Q( 2,ζ3 2),$ czyli ciała rozkładu $|x3− 2.$ W naszej sytuacji, czyli przy założeniu, że wszystkie rozważane ciała zawierają $|Q,$ bycie ciałem rozkładu wystarcza do bycia rozszerzeniem Galois. Grupa Galois tego rozszerzenia ma 6 elementów, ponieważ dla rozszerzenia Galois liczba jej elementów musi być równa stopniowi rozszerzenia. Wiemy ponadto, że automorfizm z grupy Galois może przeprowadzać pierwiastki wielomianu o współczynnikach z $|Q$ tylko na inne pierwiastki tego wielomianu, czyli je permutuje. Wielomian $3 x −2$ ma trzy różne pierwiastki, które można spermutować na 6 sposobów. Ponadto każda permutacja wyznacza już jednoznacznie automorfizm $√ -- √ -- Q( 32,ζ3 3 2),$ ponieważ mówi, jakie mają być obrazy generatorów tego rozszerzenia. Wobec tego grupa Galois $3√3√ (Q(2,ζ32)/Q)G$ to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru!

Ponadto można sprawdzić, na przykład badając własności permutacji, że jedyną (nietrywialną) normalną podgrupą jest grupa cyklicznych permutacji trzech elementów. A wewnątrz $√3-- √3-- |Q( 2,ζ3 2)$ możemy znaleźć ciało $√ -- |Q(i 3),$ ponieważ

√ -- √ -- √ -- √ -- i 3 = (ζ3 3 2− ζ23 3 2)/ 3 2.

Okazuje się, że to dokładnie ciało punktów stałych podgrupy trójelementowych cykli, więc rozszerzenie $√ -- Q ⊂ Q(i 3)$ jest Galois - co zgadza się z faktem, że stanowi ono ciało rozkładu $|x2 + 3.$

Jak to powiązać z klasyczną geometrią?

W przypadku konstrukcji geometrycznych kluczowym spostrzeżeniem jest to, że jeśli z pewnego zbioru punktów umiemy za pomocą cyrkla i linijki otrzymać nowy punkt, to jego współrzędne należą do rozszerzenia algebraicznego stopnia $n |2$ ciała zawierającego współrzędne danych punktów. Działanie cyrkla i linijki można opisać algebraicznie przez układy równań stopnia co najwyżej 2, więc każdy krok konstrukcji to rozszerzenie ciała o pierwiastek równania kwadratowego (lub brak rozszerzenia, jeśli nowe współrzędne już należą do ciała generowanego przez wcześniejsze). Wobec tego, jeśli mamy dany sześcian o boku długości 1, to konstrukcja sześcianu o dwukrotnie większej objętości wymagałaby umiejętności otrzymania odcinka o długości $√3 2.$ Ta liczba, jak wiemy, jest stopnia 3 nad $|Q,$ co nie pozwala jej znaleźć się w żadnym rozszerzeniu $Q$ stopnia $|2n.$