O grupie warkoczy

Grupa warkoczy była rozważana po raz pierwszy przez Adolfa Hurwitza w roku 1885, jednak nie pod tą nazwą; w grupie rozważanej przez Hurwitza trudno było dopatrzyć się warkoczy. Nazwę wprowadził Emil Artin w roku 1925, bo w jego interpretacji elementy grupy kojarzą się z warkoczami. Przypomnę, jak się je zaplata...

Dzielimy włosy, z których chcemy zapleść warkocz, na trzy pasma równej grubości. Nazwijmy je: pasmo lewe, środkowe i prawe. Zaplatamy lewe pasmo na środkowe. Pasma zmieniają kolejność: lewe pasmo staje się środkowym, środkowe staje się lewym. Następnie zaplatamy prawe pasmo na środkowe, potem lewe na środkowe, i tak dalej. Gdy zbliżamy się do końca długości włosów, związujemy wszystkie trzy pasma razem sznurkiem, gumką, spinką lub wstążką z kokardką. Taki warkocz jest prosty do zaplecenia, estetyczny i trwały, zachowuje swój wygląd.

Można też zaplatać warkocz odwrotnie: pasmo środkowe na lewe, potem środkowe na prawe, potem środkowe na lewe, i tak dalej. Rezultat wygląda bardzo podobnie, ale jeśli zaczniemy zaplatać warkocz "normalnie" a potem, powiedzmy po położeniu lewego pasma na środkowe, będziemy kontynuować zaplataniem "odwrotnym" (pasmo środkowe na lewe, potem środkowe na prawe i tak dalej), to w pewnym momencie okaże się, że wszystko się rozplotło i mamy z powrotem trzy równoległe pasma, od których zaczęliśmy.

Warkocze matematyczne, o których mówił Artin, mogą się składać z wielu pasm. Każde z nich zastępujemy jednym włosem, zwanym nicią, który ma grubość równą zero. Ponadto, dla łatwiejszej interpretacji, będziemy warkocze zaplatać poziomo, jak Pippi Pończoszanka. Zdefiniuję teraz owe matematyczne obiekty. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni. Oś $OX$ jest pozioma, skierowana z lewa na prawo i określa ona kierunek warkocza. Często piszemy $t$ zamiast $x$ i tak też będziemy postępować tutaj. Oś $|OY$ też leży w płaszczyźnie poziomej i jest skierowana "w głąb kartki", a oś $OZ |$ jest skierowana do góry.

Warkocz o $n$ niciach jest to wspólny wykres $n$ funkcji ciągłych określonych na pewnym przedziale $[a,b],$ $2 | f1, f2,..., fn [a,b] R ,$ spełniających dwa warunki:

ich wykresy się nie przecinają, czyli dla każdego $t$ z przedziału $[a,b]$ mamy $fi(t)≠ f j(t)$ dla $i ≠ j,$
zbiory ich wartości na początku i na końcu przedziału są takie same, czyli, bardziej formalnie, istnieje taka permutacja $|τ$ zbioru ${1,2,...,n},$ że $fi(b) = fτ i (a)$ dla $i = 1,2,...,n.$

Wykres funkcji $fi$ to $|i$ -ta nić naszego warkocza. Dla wygody dalszego opisu przyjmiemy oznaczenie $Pi = fi(a)$ i wybierzemy początki nici $|P1,P2,...,Pn$ na osi $|OZ$ ponumerowane od dołu do góry. Teraz kolejne nici leżą jedna nad drugą i gdy się zaplatają (krzyżują), mówimy, że dolna leży przed górną (patrząc "od nas") lub za górną.

Warkocz będziemy oznaczać małą literą bez indeksu. Powiemy teraz, kiedy dwa warkocze $| f = ( f1,..., fn)$ i $|g = (g1,...,gn)$ uważamy za takie same (równoważne, izotopijne), co będziemy oznaczać jako $f ∼ g.$ Najpierw dwa proste przypadki.

1.: Przesunięcie: $|gi(t) = fi(t −c)$ dla $|i = 1,2,...,n.$ Warkocz $g$ jest określony na przedziale $[a + c,b + c]$ i jego wykres jest taki, jak wykres warkocza $| f,$ tylko przesunięty w lewo lub w prawo.
2.: Zaplecenie gęściejsze lub rzadsze: $gi(t) = fi(ct),c > 0,$ dla $|i = 1,2,...,n.$ Warkocz $g$ jest określony na przedziale $[a/c,b/c]$ i jest zapleciony podobnie jak $| f,$ ale gęściej (jeśli $c > 1$ ) lub rzadziej (jeśli $c < 1$ ).

Ogólnie warkocze uznamy za równoważne, jeśli istnieje między nimi izotopia. Cóż to takiego? Jeśli funkcje $fi$ są określone na $[a,b],$ a $|gi$ są określone na $|[d, e],$ łączącą je izotopią nazwiemy funkcje ciągłe dwóch zmiennych $F1(t,s),...,Fn(t,s)$ określone na trapezie, którego dolna podstawa to ${(t,0) t∈ [a,b]},$ a górna to ${(t,1) t∈[d, e]},$ spełniające następujący warunek: dla każdego ustalonego $s$ funkcje tworzą warkocz, przy tym $|F (t,0) = f (t), i i$ a $|F(t,1) = g (t). i i$ Izotopia jest więc ciągłą rodziną warkoczy, łączącą warkocz $| f$ z warkoczem $g.$ Intuicyjnie, jeśli warkocze nie są zaplecione zbyt gęsto i nie są zbyt długie, to można złapać za lewe końce warkocza lewą ręką i za prawe końce warkocza prawą ręką, i potrząsnąć. Jeśli warkocze są równoważne, to po potrząśnięciu powinny wyglądać identycznie.

Warkocze można w naturalny sposób dodawać. Jeśli warkocz $f$ jest określony na przedziale $[a,b],$ a warkocz $g$ jest określony na przedziale $|[b, c],$ to zbiór końców nici pierwszego warkocza pokrywa się ze zbiorem początków nici drugiego warkocza, więc można je odpowiednio połączyć i otrzymać jeden warkocz $f ⋅g.$ Jeśli oznaczymy nowy warkocz przez $|h,$ to będzie on określony na przedziale $|[a,c]$ przez funkcje

⎧⎪⎪ fi(t) dla t ∈[a,b], hi(t) = ⎨ ⎪⎪⎩gτ i (t) dla t ∈[b,c],

gdzie $τ$ jest permutacją odpowiadającą warkoczowi $f.$ Jeśli przedziały określoności warkoczy nie łączą się na końcach, to można drugi warkocz odpowiednio przesunąć i dopiero wtedy połączyć warkocze.

Tak określone działanie jest łączne, czyli $( f ⋅g)⋅h = f ⋅(g⋅h).$ Ponadto nietrudno wykazać, że jeśli $f ∼ g$ i $h ∼ k,$ to $| f⋅h ∼ g ⋅k,$ więc działanie łączenia warkoczy jest określone (i łączne) na klasach równoważności warkoczy. Jego elementem neutralnym jest warkocz stały $ι= ( f,..., f ) 1 n$ (a właściwie jego klasa równoważności), gdzie $| fi(t) = Pi$ dla każdego $t$ z przedziału $|[a,b].$ Wspomniałem we wstępie, że dołączenie do warkocza "normalnego" warkocza zaplecionego odwrotnie daje warkocz stały. Ogólnie, warkocz odwrotny do warkocza $| f$ otrzymujemy przez odbicie symetryczne warkocza $| f$ względem płaszczyzny OYZ. W ten sposób wykazaliśmy, że klasy równoważności warkoczy tworzą grupę ze względu na działanie łączenia warkoczy. Tę grupę nazywamy grupą warkoczy o $n$ niciach i oznaczamy $|B n$ (po angielsku braid group).

Dalej nie będę odróżniał klasy równoważności warkocza od jej reprezentanta, zwanego czasem warkoczem geometrycznym, i będę oba nazywał warkoczem. Z kontekstu będzie jasno wynikało, w którym ze znaczeń używam tego pojęcia.

Weźmy dowolny warkocz i rozważmy jego rzut na płaszczyznę OXZ, czyli "płaszczyznę kartki". Powiemy, że dwie nici krzyżują się, jeśli krzyżują się ich rzuty na płaszczyznę OXZ. Może się zdarzyć, że rzuty trzech nici spotykają się w jednym punkcie lub że rzuty dwóch nici pokrywają się na pewnym odcinku, ale po izotopii (potrząśnięciu) możemy założyć, że liczba skrzyżowań jest skończona, przez każde skrzyżowanie przechodzą tylko dwie nici i dwa różne skrzyżowania mają różne współrzędne $t.$ Wtedy albo nie ma skrzyżowań i warkocz jest prosty (równy $|ι$ ), albo można podzielić przedział $|[a,b]$ na krótkie przedziały tak, że w każdym z nich jest tylko jedno skrzyżowanie. Oznacza to, że nasz (dowolny) warkocz jest złożeniem warkoczy typu $|σi$ i $σ −i1 ,$ przedstawionych na rysunku 3. Innymi słowy, warkocze $σi,$ $|i = 1,2,...,n −1,$ są generatorami grupy $|B . n$ Między tymi generatorami zachodzą relacje

σiσ j = σ jσ i, i− j > 1, σiσ jσi = σ jσ iσ j, i− j = 1,

(*)

przedstawione na rysunku 4. Okazuje się, że wszystkie relacje między generatorami $σi$ wynikają z relacji $|(∗).$ Twierdzenie to zostało udowodnione niezależnie przez Artina i Bohnenblusta w 1947 roku.

***

Grupa warkoczy jest ściśle związana z teorią węzłów i pojawia się też w bardzo wielu innych dziedzinach matematyki: w topologii, teorii grup, teorii algebr, geometrii algebraicznej, w algebrach von Neumanna, a oprócz tego w fizyce i mechanice statystycznej. Po Artinie ważne prace o grupie warkoczy pisali laureaci medalu Fieldsa: Pierre Deligne, William Thurston i Vaughan Jones. Opiszę teraz pokrótce inne, równoważne definicje tej grupy.

1.

Grupa (rozważana przez) Hurwitza. Ustalamy $n$ punktów $P1,P2,...,Pn$ wewnątrz domkniętego koła $D$ na płaszczyźnie. Rozważmy klasy izotopii homeomorfizmów koła $D$ na siebie, które są identycznością na brzegu koła i permutują punkty $|P1,P2,...,Pn.$ Homeomorfizmy są równoważne (izotopijne), jeśli są połączone ciągłą rodziną takich homeomorfizmów. Złożenie homeomorfizmów zachowuje klasy równoważności i otrzymujemy grupę klas izotopii homeomorfizmów izomorficzną z grupą warkoczy. Jak wygląda ten izomorfizm, podpowiada następujący lemat.

Lemat 1 (Alexander). Jeśli $D h D$ jest takim homeomorfizmem koła o środku $0,$ że $|h(0) = 0$ i $|h$ jest tożsamością na brzegu koła, to istnieje taka izotopia $D,t∈[0,1],ht D$ że $h0(x) = x,ht(0) = 0,h1(x) = h(x)$ i $|ht$ jest tożsamością na brzegu koła.

Dowód. Możemy założyć, że $D$ jest kołem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej

={z=reiθ 0⩽r⩽1,0⩽θ⩽2π}. D

Wtedy szukana rodzina homeomorfizmów może być zadana wzorem

⎧⎪⎪reiθ, t⩽ r⩽ 1, ht(reiθ ) = ⎪⎨ r ⎪⎪⎪t⋅h( -eiθ), 0⩽ r ⩽ t. ⎩ t

Podczas izotopii $ht$ punkty $ht(P1),ht(P2),...,ht(Pn)$ poruszają się wewnątrz dysku, nie spotykając się, i funkcje $| f(t) = h (P) i t i$ określają nici warkocza odpowiadającego homeomorfizmowi $|h.$ Klasa równoważności warkocza zależy tylko od klasy izotopii $|h.$

2.

Gdy dany jest warkocz $| f = ( f , f ,..., f ), 1 2 n$ to dla każdego $t∈ [a,b]$ określa on zbiór $|n$ różnych punktów $f1(t),..., fn(t)$ na płaszczyźnie; dla $|t = a$ i dla $t = b$ jest to ten sam zbiór. Można więc powiedzieć, że warkocz to zamknięta droga w przestrzeni $n$ -elementowych nieuporządkowanych podzbiorów płaszczyzny (przestrzeni konfiguracyjnej $n$ punktów w płaszczyźnie), oznaczanej $Cn(R$ Zatem grupa warkoczy $Bn$ to grupa podstawowa $π 1(Cn(R2)).$

3.

Zamiast o $|R2$ można mówić o płaszczyźnie $C$ liczb zespolonych. Zbiorowi $|n$ -elementowemu liczb zespolonych ${z1,z2,...,zn}$ jednoznacznie odpowiada wielomian unormowany $f (z) = (z −z1)(z −z2)...(z − zn)$ o różnych pierwiastkach zespolonych. Grupę $Bn$ można więc też interpretować jako grupę podstawową przestrzeni wielomianów unormowanych stopnia $n$ o współczynnikach zespolonych, bez pierwiastków wielokrotnych. Zauważmy, że wielomian jest określony przez $n$ swoich współczynników. Ponadto dla wielomianów bez pierwiastków wielokrotnych wyróżnik $|∆,$ który jest wielomianem od współczynników, jest różny od zera. Jeśli zatem oznaczymy $H$ to $|Bn =π 1(Cn ∖ H).$

4.

Ostatnia interpretacja grupy warkoczy należy znów do Artina. Zamiast wyróżnić punkty $|P1,P2,...,Pn$ w dysku $|D$ możemy je z niego wyrzucić. Wtedy mówimy o grupie podstawowej $∖{P1,P2,...,Pn},P0)=Fn π 1(D$ z punktem bazowym $|P0$ na brzegu dysku $. |D$ Homeomorfizm $h$ indukuje automorfizm grupy $F , n$ która jest grupą wolną o generatorach $|x1,...,xn$ przedstawionych na rysunku 6.

Lemat 2 (Artin). Homomorfizm $|ϕ Fn Fn$ jest indukowany przez homeomorfizm $D |h D$ (który jest warkoczem i w szczególności jest automorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy $ϕ(x1x2 ...xn) = x1x2...xn$ i dla każdego $k ∈ {1,2,...n},ϕ (xk)$ jest sprzężone z pewnym $|x , j$ czyli $ϕ (x ) = A k$

Stąd grupa $Bn$ jest izomorficzna z powyższą podgrupą automorfizmów grupy wolnej.

W roku 2001 Daan Krammer i Stephen Bigelow udowodnili (osobno), że grupa $Bn$ jest grupą liniową, izomorficzną z pewną podgrupą multiplikatywnej grupy macierzy. Był to otwarty problem przez wiele lat. Z tego twierdzenia wynika bardzo wiele ważnych własności grupy $|Bn,$ ale większość była już znana przed jego udowodnieniem.

Na koniec chciałbym przytoczyć jeden otwarty problem, który można łatwo sformułować. Warkocz nazywamy dodatnim, jeśli można go zapisać jako iloczyn dodatnich generatorów (same $|σi$ bez $σ−i1$ ). Warkocz jest półdodatni, jeśli można go zapisać jako iloczyn elementów sprzężonych z dodatnimi generatorami. Należy znaleźć algorytm, który sprawdza, czy warkocz jest półdodatni. Wiadomo, że istnieje rozwiązanie dla warkoczy o trzech niciach, podane przez S. Orevkova. Może Tobie, Czytelniku, uda się znaleźć rozwiązanie dla większej liczby nici?