Rys. 1 Striangulowany wielokąt; kolorem wyróżniono trójkąty i odcinki odgrywające rolę w lemacie Spernera.

Lemat Spernera

Narysujmy na płaszczyźnie wielokąt i dokonajmy jego triangulacji, czyli podziału na trójkąty, które mogą stykać się z innymi trójkątami wspólną krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem (jak na rysunku 1). Wierzchołki tych trójkątów „pokolorujemy”, tzn. każdemu z nich przypiszemy jego „kolor” – liczbę ze zbioru

Wyróżnijmy trójkąty, które mają wierzchołki wszystkich trzech kolorów. Jeśli poruszając się po obwodzie trójkąta przeciwnie do ruchu wskazówek zegara widzimy liczby w kolejności 0, 1, 2, to mamy do czynienia z trójkątem „dodatnio zorientowanym”. Oznaczmy liczbę takich trójkątów przez  natomiast liczbę trójkątów „ujemnie zorientowanych” przez

Interesować nas też będą krawędzie na brzegu wielokąta. Jeżeli wierzchołki takiej krawędzi mają kolory  i  (przy czym kolor  ma wierzchołek, który napotykamy najpierw, gdy poruszamy się po obwodzie wielokąta przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), to taką krawędź nazwiemy  Wyróżnimy krawędzie, które mają kolory 0 i 1. Krawędzie 01 nazwiemy „dodatnio zorientowanymi”, natomiast krawędzie 10 będą „ujemnie zorientowane”. Ich liczbę oznaczymy, odpowiednio, przez  i 

Rys. 2 Ilustracja dowodu lematu Spernera.

Ciekawy lemat (znany jako skierowana wersja lematu Spernera) podaje zależność między tym, co musi się dziać wewnątrz takiego striangulowanego wielokąta, a tym, co się dzieje na jego brzegu – mianowicie

(*)

---

Liczby zespolone

O liczbach zespolonych (ich zbiór będziemy oznaczać przez ) możemy myśleć jak o wektorach (postaci ) na płaszczyźnie. Na liczbach tych możemy wykonywać działania. Dodawanie wykonuje się dokładnie tak samo jak dodawanie wektorów. Aby zdefiniować mnożenie, potrzebne są nam dwa pojęcia. Argumentem liczby zespolonej  nazywamy kąt, który tworzy ona z wektorem  i oznaczamy go przez (Argument jest dany z dokładnością do  tzn. jeżeli  jest argumentem  to  też. W dalszym ciągu ta niejednoznaczność nie będzie nam przeszkadzała. Przyjmujemy także, że ) Modułem liczby zespolonej  nazywamy długość wektora reprezentującego  i oznaczamy go przez  Łatwo zauważyć, że  i   jednoznacznie wyznaczają liczbę

Wynikiem mnożenia dwóch liczb  i  jest liczba zespolona  o argumencie  i module

Teraz, gdy umiemy już dodawać i mnożyć, możemy zdefiniować wielomian zmiennej zespolonej (analogicznie jak wielomian zmiennej rzeczywistej): wielomianem stopnia  zmiennej zespolonej  będziemy nazywać funkcję  daną wzorem

gdzie  są liczbami zespolonymi oraz

Zasadnicze twierdzenie algebry głosi, że każdy wielomian dodatniego stopnia zmiennej zespolonej ma co najmniej jeden pierwiastek. Jest wiele dowodów tego ważnego twierdzenia, ale lemat Spernera pomoże nam je udowodnić w zaskakująco elementarny sposób.

Kolorowanie

Ustalmy wielomian  Przez kolorowanie wielomianu nazwiemy kolorowanie płaszczyzny zespolonej  trzema kolorami 0, 1, 2 w zależności od argumentu liczby zespolonej  Kolor -ty otrzymają liczby ze zbioru

Tak pokolorowaną płaszczyznę (Rys. 3) oznaczmy przez

Popatrzmy na kilka przykładów. Jeśli wielomian  będzie stopnia 0, to cała płaszczyzna będzie jednokolorowa. Jeśli wielomian będzie postaci  to płaszczyzna będzie podzielona na trzy przystające kąty o wspólnym wierzchołku w punkcie  Będzie to wyglądało tak samo jak na rysunku 3, tylko punkt zbiegu kolorów będzie leżał gdzie indziej.

Aby pokolorować wielomian  sięgniemy do definicji mnożenia liczb zespolonych. Mamy  zatem jeśli punkt  dostał kolor 0, to  lub  Analogiczne rozumowanie w przypadku kolorów 1 i 2 prowadzi nas do wniosku, że  jest podzielona na sześć przystających kątów o wierzchołkach w punkcie (patrz rysunek 4).

Nietrudno się przekonać o tym, że kolorując  będziemy musieli namalować  przystających kątów. Będą one miały kolejno kolory 0, 1, 2, 0, 1, 2 itd.

Do tej pory szło nam łatwo, ale już w przypadku wielomianu  napotykamy kłopoty. Z pomocą komputera możemy wygenerować kolorowanie tego i innych wielomianów (rysunki 5 i 6, a także okładka). Obserwując obrazki, możemy dojść do dwóch wniosków:

• Łatwo na rysunku znaleźć zera wielomianu. Są to dokładnie te punkty, w których zbiegają się wszystkie trzy kolory.
• Niech  będzie wielomianem stopnia  Im dalej od punktu  tym bardziej kolorowanie  przypomina kolorowanie

Pierwszy z wniosków wynika z ciągłości  Dla dowodu drugiego zauważmy, że przy  mamy  zatem poza dostatecznie dużym kołem  o środku w punkcie  będzie wyglądało prawie jak

Rys. 7 Ilustracja dowodu zasadniczego twierdzenia algebry. Kolorowanie wielomianu  Poza wielokątem  wielomian wygląda jak

Wiemy zatem, co się dzieje poza dużym kołem  tym bardziej wiemy też, co się dzieje poza dowolnym wielokątem wypukłym  zawierającym to koło. Nie wiemy jednak, co się dzieje w jego wnętrzu, ale spróbujemy to odgadnąć, badając jego brzeg. Do tego przyda nam się lemat Spernera. Dokonajmy triangulacji wielokąta  i pokolorujmy jego wierzchołki. Kolorowanie będzie wyznaczone przez (patrz rysunek 7). Jeśli trójkąty są dostatecznie małe, to na brzegu pojawią się tylko krawędzie  i   Krawędzi  jest dokładnie (znowu przy założeniu dostatecznie drobnej triangulacji), zatem

Analogicznie, brak krawędzi  powoduje, że  i prawa strona równania  jest równa  Wynika z tego, że  zatem w wielokącie  istnieje trójkąt trójkolorowy.

Zdefiniujmy teraz taki ciąg triangulacji  że średnica największego trójkąta w   dąży do 0 przy  W triangulacji  znajdziemy trójkolorowy trójkąt o wierzchołkach  i  (punkt  ma kolor ). Ponieważ ciąg punktów  jest ograniczony przez wielokąt  więc na podstawie twierdzenia Bolzano-Weierstrassa można z niego wybrać podciąg zbieżny  Z tego, co powiedzieliśmy o średnicach, wynika, że podciągi  i   również są zbieżne do tej samej granicy

Widać zatem, że w punkcie  zbiegają się wszystkie trzy kolory, zatem  co kończy dowód zasadniczego twierdzenia algebry.