Liczby pierwsze i jednoznaczność rozkładu – ogólniej

Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w zbiorze liczb naturalnych wypowiada się najprościej w następujący sposób: każdą liczbę naturalną różną od jedności możemy przedstawić w postaci iloczynu $\text{[math]}$ liczb pierwszych na jeden tylko sposób, o ile rozkłady, różniące się kolejnością czynników, uważać będziemy za równe...

Podobne twierdzenie można wysłowić także i dla liczb całkowitych, niekoniecznie dodatnich:

Twierdzenie. Każdą liczbę całkowitą, różną od $\text{[math]}$ możemy przedstawić na jeden sposób w postaci iloczynu $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ są liczbami pierwszymi, a liczba $\text{[math]}$ równa jest $\text{[math]}$ lub $\text{[math]}$

(Oczywiście i w tym przypadku należy utożsamiać rozkłady, różniące się kolejnością czynników.) Nazwijmy pierścieniem liczbowym każdy zbiór zawarty w zbiorze liczb zespolonych, w którym wykonalne jest dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Oczywiście, zbiór $\text{[math]}$ liczb całkowitych jest takim pierścieniem. Nasuwa się naturalne pytanie, czy w każdym pierścieniu liczbowym zachodzi twierdzenie analogiczne do wysłowionego przed chwilą w przypadku pierścienia $\text{[math]}$

Rozpatrzmy dla przykładu pierścień liczb całkowitych Gaussa, złożony ze wszystkich liczb zespolonych postaci $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ są liczbami całkowitymi. O tym pierścieniu można udowodnić następujące twierdzenie, analogiczne do twierdzenia o jednoznacznym rozkładzie w $\text{[math]}$ :

Twierdzenie. Jeśli $\text{[math]}$ jest liczbą całkowitą Gaussa, różną od $\text{[math]}$ to możemy ją przedstawić w postaci

display-math

przy czym liczby $\text{[math]}$ są liczbami pierwszymi Gaussa, tj. mają tę własność, że z rozkładu $\text{[math]}$ na czynniki, $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ są liczbami całkowitymi Gaussa, wynika, że jeden z tych czynników jest równy, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ lub $\text{[math]}$

Jeżeli

display-math

jest innym rozkładem tego typu, to $\text{[math]}$ a przy tym po odpowiednim przenumerowaniu liczb $\text{[math]}$ zachodzą równości: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ przy czym każda z liczb $\text{[math]}$ jest równa $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ lub $\text{[math]}$

Dla przykładu rozłożymy na czynniki pierwsze w pierścieniu Gaussa liczbę 2: mamy równość: $\text{[math]}$ a rozkład ten jest rozkładem na czynniki pierwsze, bo jeśli np. $\text{[math]}$ to

display-math

a zatem $\text{[math]}$ lub też $\text{[math]}$ co pokazuje, że jedna z liczb $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ jest równa $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ lub $\text{[math]}$

Możemy przy tym także napisać:

display-math

co pokazuje, że możliwości podane w sformułowaniu twierdzenia rzeczywiście występują.

By móc sensownie sformułować twierdzenie o jednoznaczności rozkładu dla dowolnego pierścienia liczbowego, należy uprzednio określić, co będziemy rozumieli przez liczby pierwsze w takim pierścieniu i jakie liczby będą grały role liczb $\text{[math]}$ w pierścieniu liczb całkowitych, czy też liczb $\text{[math]}$ w pierścieniu Gaussa. W tym celu zauważmy, że odwrotność każdej z liczb $\text{[math]}$ również leży w pierścieniu Gaussa.

To podsuwa następujące określenie: jeżeli $\text{[math]}$ jest pierścieniem liczbowym, to liczba $\text{[math]}$ należąca do niego nazywa się odwracalna w $\text{[math]}$ jeżeli $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ należy do $\text{[math]}$ (Oczywiście, liczby $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są odwracalne w każdym pierścieniu, a przykład pierścienia Gaussa pokazuje, że liczb odwracalnych może być więcej.) Teraz możemy określić liczby pierwsze w pierścieniu $\text{[math]}$ : różną od zera liczbę $\text{[math]}$ pierścienia $\text{[math]}$ nazywamy liczbą pierwszą w $\text{[math]}$ jeżeli z równości $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ wynika, że jedna z liczb $\text{[math]}$ jest odwracalna w $\text{[math]}$

Używając tych definicji, możemy teraz sformułować dla dowolnego pierścienia liczbowego $\text{[math]}$ odpowiednik twierdzenia o jednoznaczności rozkładu:

Twierdzenie. W pierścieniu $\text{[math]}$ zachodzi twierdzenie o jednoznaczności rozkładu, jeżeli każda liczba $\text{[math]}$ różna od zera i nieodwracalna da się zapisać w postaci

display-math

przy czym liczby $\text{[math]}$ są liczbami pierwszymi w $\text{[math]}$ a przy tym jeżeli $\text{[math]}$ jest innym takim rozkładem, to $\text{[math]}$ i po odpowiednim ponumerowaniu liczb $\text{[math]}$ zachodzą równości:

display-math

przy czym liczby $\text{[math]}$ są odwracalne.

Następujący przykład świadczy o tym, że sformułowane powyżej twierdzenie nie we wszystkich pierścieniach liczbowych jest prawdziwe:

Przykład. Rozpatrzmy pierścień $\text{[math]}$ złożony ze wszystkich liczb $\text{[math]}$ przy $\text{[math]}$ (Proponuję Czytelnikowi sprawdzenie, że $\text{[math]}$ w istocie jest pierścieniem.) Liczba 6 ma w $\text{[math]}$ dwa różne rozkłady:

display-math

Nietrudno sprawdzić, że występujące tu czynniki są liczbami pierwszymi w rozważanym pierścieniu. Jeżeli np. $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ to

display-math

a więc $\text{[math]}$ lub też jedna z liczb $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ jest równa 1, a druga równa 4. Ponieważ równanie $\text{[math]}$ nie ma rozwiązań całkowitych, musi zachodzić druga możliwość, a wówczas jedna z liczb $\text{[math]}$ musi być równa 1 lub $\text{[math]}$ Podobnie sprawdzamy, że pozostałe czynniki naszych rozkładów są pierwsze. Pozostaje sprawdzić, że ilorazy czynników obu rozkładów nie są odwracalne, ale to wynika z uwagi, że żadna z liczb $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ nie leży w $\text{[math]}$ Widzimy ostatecznie, że w pierścieniu $\text{[math]}$ twierdzenie o jednoznaczności rozkładu nie zachodzi.