Kącik początkującego olimpijczyka
Jego Wysokości (II)
O prostej Eulera i okręgu dziewięciu punktów.

Układ ortocentryczny
Przed rozpoczęciem lektury niniejszego kącika warto zapoznać się z poprzednim, w którym zdefiniowany został układ ortocentryczny (na rysunku ) oraz jego spodki
, odcinki
i środki tych odcinków
.
Poruszając temat układów ortocentrycznych, byłoby nietaktem pominąć dwa słynne twierdzenia z nimi związane: o okręgu dziewięciu punktów i o prostej Eulera.
Punkty i
są środkami boków
i
a punkty
i
- odcinków
i
więc
Analogicznie dowodzimy, że
Proste
i
są prostopadłe, więc czworokąt
jest prostokątem. Z tego wynika, że odcinki
i
są równej długości i mają wspólny środek. To samo można udowodnić dla odcinków
i
Te trzy odcinki -
i
- są zatem średnicami tego samego okręgu - nazwijmy go
Na okręgu
leży również punkt
gdyż albo
albo
; analogicznie jest dla punktów
i
Okrąg
to słynny okrąg dziewięciu punktów trójkąta
Trójkąt jest jednokładny do trójkąta
w stosunku
względem ich wspólnego środka ciężkości
zatem opisane na nich okręgi
i
również są jednokładne względem
Z tego wynika, że punkt
leży na odcinku
łączącym środki tych okręgów, przy czym
Co więcej, trójkąt
jest jednokładny do trójkąta
w stosunku
względem punktu
więc punkt
jest środkiem odcinka
Z tego wynika, że punkty
i
leżą w tej kolejności na jednej prostej i zachodzi równość
Nazywamy ją prostą Eulera trójkąta
Na koniec zauważmy, że w przypadku zdegenerowanego układu ortocentrycznego zachodzą równości
oraz
i
Poza tym, że prostokąt
degeneruje się do odcinka, nie dzieje się nic, co mogłoby zaszkodzić przeprowadzonemu wyżej rozumowaniu.