Delta mi!

Postawmy ogólniejszy problem. Uzasadnimy, że dowolny niepusty przedział otwarty ma tę własność, że dla pewnego Niech i będzie długością tego przedziału. Zauważmy, że jeżeli to jest przedziałem dwukrotnie dłuższym niż Tym samym kolejne przekształcenia przez są przedziałami długości i tak dalej, o ile do żadnego z wymienionych zbiorów nie należy Wobec powyższego istnieje takie że Ale i czyli i wobec tego jest przedziałem postaci dla pewnego Teraz ponownie podwaja długość przedziału wobec tego dla pewnego zachodzi Tym samym i wystarczy jeszcze zauważyć, że

Rozwiązanie pierwotnego problemu polega teraz na zauważeniu, że dowolny przedział postulowany w treści zadania zawiera w sobie przedział otwarty oraz jeśli z przypadku ogólnego, to tym bardziej

Załóżmy, że funkcja spełnia warunki zadania. Niech oznacza nierówność Wybierzmy dowolnie Ponieważ więc Podstawiając w ostatniej nierówności zamiast i uwzględniając dostajemy dla dowolnych Podstawiając zamiast dostajemy Z dowolności wnioskujemy, że dla pewnego i wszystkich zatem musi być Łatwo sprawdzić, że ta funkcja faktycznie spełnia dla wszystkich

Dla zachodzi nierówność więc w tym przedziale nie leży żaden wyraz ciągu W każdym dalszym przedziale dodatniości funkcji tangens leży jeden wyraz. Tak więc Wobec określenia wynika stąd, że oraz

W takim razie A skoro (oraz gdy ), zatem

Niech będzie wartością danego trójmianu w punkcie po zmianie współczynników przez -tego ucznia i niech będzie wartością w -1 trójmianu napisanego przez nauczyciela. Zauważmy, że a (gdzie to numer ostatniego ucznia). Ponadto zachodzi nierówność Rzeczywiście - jest to jasne, gdy zmieniamy wyraz wolny, zaś zmieniając o wartość współczynnika przy dodajemy lub odejmujemy 1 do wartości wielomianu w -1. W takim razie istnieje takie że Zatem w pewnym momencie na tablicy był napisany trójmian którego jednym z pierwiastków było -1; ze wzorów Viète'a wnosimy, że drugim jego pierwiastkiem była liczba całkowita

Funkcja jest ciągła i rosnąca, a jej granice przy końcach dziedziny wynoszą 0 oraz Zatem liczba dla której jest jednoznacznie określona. Wykażemy, że (gdzie ); stąd też wyniknie, że leży pomiędzy i Wobec ścisłej monotoniczności funkcji wystarczy dowieść, że

Niech dla ; jest to funkcja rosnąca. Skoro zatem

(1)

Badając znak stwierdzamy, że funkcja jest wklęsła w przedziale Jeżeli więc liczby leżą w tym przedziale, to Jeśli zaś np. rozważamy dwa podprzypadki (pamiętając, że ):

we wszystkich przypadkach uzyskane wartości nie przekraczają Otrzymane oszacowanie pokazuje (zgodnie ze wzorem (1)), że

Pozostało do wykazania, że ; do tego użyjemy funkcji bowiem

(2)

Nietrudno się przekonać, że dla zachodzi nierówność czyli równoważna (przez logarytmowanie) nierówności ; tę ostatnią nierówność sprawdzamy bez trudu, przenosząc wszystko na jedną stronę i ponownie różniczkując. Zatem istotnie dla ; stąd dla Ponieważ bez straty ogólności można przyjąć, że ze wzoru (2) wnosimy, że To kończy rozwiązanie.

Niech Ponieważ więc

W tej sytuacji wtedy i tylko wtedy, gdy Teza wynika zatem z ciągłości funkcji i własności Darboux funkcji ciągłych.

Z definicji ciągu wynika (przez oczywistą indukcję), że wszystkie jego wyrazy są dobrze określonymi liczbami dodatnimi. Weźmy pod uwagę ilorazy ; ciąg liczb dodatnich z wyrazem początkowym spełnia zależność rekurencyjną

(1)

Pokażemy, że dla zachodzi równość

(2)

Uzasadnienie indukcyjne: dla tak jest. Przyjmijmy równość dla pewnego Ponieważ mamy wówczas

stąd (wobec spostrzeżenia, że ):

W połączeniu ze wzorem (1) daje to równość (2) z zastąpionym przez czyli tezę indukcyjną.

Wzór (2) został wykazany. Wywnioskujemy z niego, że

(3)

dla Znów indukcja: dla zgadza się (bo ). Ustalmy i przyjmijmy słuszność (3) z zastąpionym przez Z takiego założenia indukcyjnego i ze wzoru (2) otrzymujemy

co kończy indukcyjny dowód wzoru (3). Tak więc

(bo przy ). Stąd, ostatecznie,

Ustalmy oraz dowolne wartości zmiennych dla Wówczas wyrażenie możemy traktować jako funkcję zmiennej Jest to funkcja ściśle wypukła, jako suma ściśle wypukłych funkcji dla oraz stałych dla W tej sytuacji największa wartość tej funkcji jest przyjmowana na krańcach dziedziny, tj. dla lub Z dowolności wyboru wnioskujemy, że największa wartość badanego wyrażenia jest przyjmowana dla pewnej konfiguracji Jeśli spośród zmiennych jest równe 1, to rozważana suma ma wartość

i przyjmuje największą wartość dla równą

Rozważane wyrażenie oznaczmy literą (stale zakładamy, że wszystkie mianowniki są dodatnie). Dwukrotnie stosujemy nierówność między średnimi (po drodze przegrupowując czynniki):

Ponownie używając nierówności między średnimi (wartości i ), dostajemy oszacowanie

czyli Stąd i z analogicznego oszacowania dla trójek uzyskujemy kontynuację wcześniejszego ciągu nierówności:

(bo z założenia). Znaleziona wartość zostaje osiągnięta, gdy wszystkie nierówności stają się równościami; więc gdy oraz

przy czym te trzy wartości też muszą być równe(!). To wymusza równości oraz Ponadto - oznaczając krótko (i podobnie ) - musimy mieć równość (do takiej pary też była stosowana nierówność między średnimi) - czyli Wraz z równością daje to alternatywę: lub Dla czwórek oraz wyznaczone oszacowanie przechodzi w równość. Zatem szukane minimum wynosi

Ponieważ

zaś zmienna pomocnicza dąży do 0, gdy zatem

Asymptotą ukośną może więc być jedynie prosta o współczynniku kierunkowym ; wystarczy zatem, by następująca różnica miała skończoną granicę (przy czyli ):

Gdy pierwszy z ilorazów (w ostatnim uzyskanym wyrażeniu) dąży do granicy 1/2 (bo ). Stąd wniosek, że asymptotą (przy ) jest prosta o równaniu

Podstawmy, kolejno, oraz ; otrzymujemy równania

oraz

które po dodaniu stronami i redukcji dają związek Zatem dla każdej liczby ma miejsce alternatywa: lub Stąd, w szczególności,

Jeśli jest jedynym miejscem zerowym funkcji to dla wszystkich Łatwo sprawdzić, że ta funkcja spełnia zadane równanie. Pozostaje przypadek, gdy ma jeszcze jakieś miejsce zerowe Wykażemy, że wówczas jest tożsamościowo równa zeru.

Przypuśćmy, że dla pewnego Biorąc w zadanym równaniu dostajemy ; ta liczba nie jest zerem, więc z wcześniejszej alternatywy wynika, że wynosi ona jednocześnie oraz Przyrównanie tych wartości daje równość To liczba dodatnia; stąd w przedziale Weźmy teraz dowolną liczbę i w wyjściowym równaniu podstawmy (już wiemy, że ). Wychodzi Tak więc także w przedziale

Wniosek (odpowiedź): jedynymi funkcjami spełniającymi podane równanie są: (dla wszystkich ) oraz (dla wszystkich ).

Korzystając dwukrotnie z warunku zadania, raz dla pary liczb a drugi raz dla uzyskujemy

Rozważamy średnie i liczb Weźmy dowolną liczbę i zauważmy, że

(1)

- skorzystaliśmy z nierówności dla liczb

Dla mamy nierówność którą przepisujemy w postaci

i dalej, dzieląc przez :

(2)

Kontynuujemy szacowanie (1), przyjmując i korzystając z (2):

Liczba jest z założenia parzysta. Gdy dla połowy spośród wskaźników zaś dla pozostałej połowy, wówczas we wszystkich szacowaniach zachodzi równość. Zatem liczba jest maksymalną wartością stosunku