Co to jest?

Grupa

Ustalmy zbiór $X;$ np. $X = {1;2; :::;2019}:$ Niech $|SX$ oznacza zbiór funkcji odwracalnych z $X$ w $X:$ Funkcje z $|SX$ można składać i odwracać, nie wychodząc poza $SX:$ W zbiorze $SX$ istnieje też funkcja identycznościowa. Tytułowe grupy są abstrakcyjnym sposobem wyrażenia powyższych własności zbioru $SX:$

Grupa to zbiór $|G$ wraz z działaniem mnożenia, czyli funkcją $×GGG$ oznaczaną $(g1,g2) ( g1⋅g2,$ elementem neutralnym $|1GG∈$ oraz działaniem odwracania $g g−1.$ Działania mnożenia i odwracania oraz element neutralny są częścią definicji grupy i wymagamy, by spełniały one wszystkie naturalne własności z przykładu $SX$ (patrz margines).

Przykładowo, zbiór $|S , X$ w którym "mnożenie" to składanie funkcji, odwracanie to odwracanie funkcji, a jedynka to funkcja identycznościowa, jest grupą. Zbiór $∗ |R = R ∖{0}$ ze zwykłym mnożeniem i odwracaniem także jest grupą, podobnie zbiór $Q ∗= Q ∖ {0}.$ Zbiór $Z ∖ {0}$ z mnożeniem i dzieleniem nie jest grupą, bo odwrotność liczby całkowitej zwykle nie jest liczbą całkowitą. Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to zbiór $|Z∗p = {1,2,...,p − 1}$ z mnożeniem modulo $p$ jest grupą, bo z algorytmu Euklidesa wynika, że dla każdej liczby $a ∈{1,...,p − 1}$ istnieją liczby całkowite $|r,s$ takie, że $ar + ps = 1$ ; reszta z dzielenia $r$ przez $|p$ jest odwrotnością $a.$ Grupą jest także zbiór $Z,$ w którym "mnożenie" to dodawanie, zaś "odwrotność" to $a ( −a.$ Podobnie, zbiór $Zn = {0,1,...,n − 1}$ z dodawaniem modulo $n$ jest grupą. Notabene, twierdzenie o generatorze z teorii liczb mówi, że grupa $Z∗ p$ jest izomorficzna z grupą $Zp−1.$ Wreszcie, jeszcze bardziej egzotyczne grupy pojawiają się w kryptografii (patrz Krzywe eliptyczne w kryptografii, Delta 08/2018.

Podgrupa grupy $G$ to podzbiór $H$ taki, że działania wykonywane na elementach z $|H$ dają w wyniku element z $H. |$ Formalnie mówiąc, dla każdych $h ,h ∈H 1 2$ zachodzi $h | ⋅h ∈ H 1 2$ oraz $h | −1∈H. 1$ Jedno z podstawowych twierdzeń teorii grup mówi, że każda grupa $G |$ jest podgrupą $SX$ dla odpowiednio dużego zbioru $. |X$ Definicja grupy nie odchodzi więc zbyt daleko od przykładu $|SX .$ Jeśli $|H$ jest podgrupą $, G |$ to zbiór $/H |G$ powstaje z $G |$ przez utożsamienie elementów $g$ i $hg$ dla każdych $,h∈H. |g ∈G$ Prawdziwy jest następujący elegancki wzór: $/H = G / H , G$ a zatem liczność podgrupy jest zawsze dzielnikiem liczności grupy.

Specjalną klasą podgrup są podgrupy normalne. Podgrupa $|H$ jest normalna, jeśli zachodzi $|g⋅h ⋅g−1∈ H$ dla każdych $, g | ∈ G$ $h ∈H.$ Ten dziwaczny warunek pozwala wprowadzić na zbiorze $/H |G$ strukturę grupy. W każdej grupie $G |$ podgrupami normalnymi są $G$ i ${1G}.$ Grupy, które nie mają innych podgrup normalnych, nazywane są prostymi, np. grupa $|Zp$ jest prosta (gdyż rozmiar podgrupy musi być dzielnikiem rozmiaru grupy), a grupa $|Z$ nie jest. W XX wieku sklasyfikowano wszystkie grupy proste. Tworzą one $|18$ "rodzin" i $26$ "nieoczekiwanych" grup sporadycznych. Te ostatnie święcą dziś triumfy w matematycznych modelach teorii strun, w ramach tzw. moonshine theory.

Dlaczego jednak grupy pojawiają się w innych gałęziach matematyki i fizyki? Okazuje się, że grupy dobrze obrazują (odwracalne) działania na obiektach. Grupa $SX$ w naturalny sposób działa na zbiorze $|X$ jeśli weźmiemy element $x ∈ X$ oraz $f ∈ SX ,$ to możemy otrzymać nowy element $| f(x).$

To właśnie działania grup czynią grupy tak interesującymi i wszechobecnymi obiektami w matematyce. Żeby zobaczyć to lepiej, rozważmy przypadek, gdy $|X$ ma dodatkową strukturę, np. gdy niektóre pary elementów $X$ połączymy, otrzymując graf $,E). Γ = (X$ W tej sytuacji możemy zadać następujące pytania:

Które elementy $g ∈ S X$ spełniają warunek $g ⋅Γ =Γ ?$ Zbiór takich elementów nazywamy stabilizatorem $|Γ.$ Stabilizator jest naturalnie podgrupą $|SX .$ Oznaczamy go $Γ. G$
Które grafy można otrzymać z $Γ$ przez permutowanie wierzchołków? Zbiór takich grafów nazywamy orbitą $|Γ$ przy działaniu $G$ i oznaczamy $⋅Γ. G$
Jeśli popatrzymy na zbiór $|ℳ$ wszystkich możliwych grafów o wierzchołkach $, X$ to ile jest orbit? Zbiór orbit oznaczamy przez $. |ℳ/G$

Warto sprawdzić, że jedyne grafy ze stabilizatorem równym $SX$ to graf pełny oraz graf pusty. Zachodzi też równanie $Γ ⋅ G⋅Γ = G . | G$ Wynika stąd, że im większa orbita, tym mniejszy stabilizator, a ponadto: liczby $Γ , G⋅Γ G$ są dzielnikami $. |G$ Znacznie bardziej skomplikowane jest sprawdzenie, ile jest orbit, czyli ile elementów ma zbiór $. ℳ/G$ Tym niemniej czasem można powiedzieć coś o orbitach, mając bardzo niewiele danych:

Lemat. Jeśli $p$ jest pierwsza, grupa $G$ ma $k |p$ elementów i działa na zbiorze $|ℳ,$ który ma niepodzielną przez $p$ liczbę elementów, to istnieje element stały, tzn. $Γ ∈ ℳ$ taki, że $|g⋅Γ = Γ$ dla wszystkich $. g ∈ G$

Dowód. Faktycznie, $| ℳ$ jest sumą orbit, a rozmiar każdej orbity dzieli $k =p. G$ Jeśli żadna orbita nie jest jednoelementowa, to rozmiar każdej jest podzielny przez $|p,$ zatem i $| ℳ$ jest podzielna przez $|p.$ Sprzeczność. A więc istnieje $Γ$ takie, że $⋅Γ={Γ}. G$

Zamiast grafów można podobnie analizować inne obiekty. Jeśli będziemy patrzeć na przestrzenie liniowe, to otrzymamy teorię reprezentacji, jeśli na ciała (patrz poniżej), to teorię Galois, itd. Wreszcie, aby lepiej zrozumieć same grupy, warto badać działania grup na grupach.