Jeszcze o algebrze obliczeń kwantowych, czyli artykuł dla Koneserów Macierzy

W poniższym artykule postaramy się przybliżyć Czytelnikowi niektóre podstawowe pojęcia algebry wieloliniowej nad liczbami zespolonymi, która jest podstawą rozważań w kwantowej teorii obliczeń. Bez zbędnej zwłoki przystąpimy od razu do konkretów.

Stany i bramki kwantowe

Stanem komputera kwantowego obsługującego $|n$ tak zwanych kubitów jest jakiś wektor długości $1$ z $2n C .$ Wykorzystując bardzo sugestywną notację Paula Diraca stan $s$ w takim komputerze może być zapisany w postaci

s = Q s ⋅ b ...b ⟩ , dla s ∈ C. b1...bn > 0,1 n b1,...,bn 1 n b1,...,bn

Intuicyjnie, możemy sobie więc wyobrażać, że pamięć komputera jest niedeterministyczna i znajduje się w stanie $(b ...b ) 1 n$ z prawdopodobieństwem $2 | sb1,...,bn .$ Warto zwrócić uwagę, że przy tej uproszczonej interpretacji pomijamy istotną informację pochodzącą od zespolonego skierowania współrzędnych stanu $s.$

Przystąpimy teraz do krótkiej analizy dostępnych operacji na komputerze kwantowym, które odpowiadają odwracalnym operatorom $|M$ zachowującym długości wektorów (czyli dla każdego $|ϕ$ ma być $ϕ = ϕ | M$ ). Operacje te nazywamy operatorami unitarnymi. Dla liczby naturalnej $N$ przez $)U(N$ oznaczać będziemy grupę przekształceń unitarnych przestrzeni $|CN .$ Jak łatwo się przekonać (zachęcamy do próby udowodnienia tego faktu) grupa ta może być utożsamiona ze zbiorem macierzy $U$ rozmiaru $×NN$ spełniających równość $|U$ gdzie $IN$ jest macierzą przekształcenia identycznościowego, a operacja $U$ przyporządkowuje macierzy $[u ] i j$ macierz $|[u-], ji$ np:

1- 1+ i 1− i 1- 1− i 1+ i 1-1 +i 1− i 1- 1− i 1+ i 1 0 2 [1− i 1+ i] = 2 [1+ i 1− i] oraz2 [1 −i 1+ i]⋅2 [1+ i 1− i] = [0 1]

Iloczyn tensorowy.

W celu zwięzłego zapisu bramek kwantowych dużych rozmiarów wykorzystuje się operację tak zwanego iloczynu tensorowego. Iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych $V$ i $W,$ oznaczanym $|V ⊗ W,$ nazwiemy przestrzeń generowaną przez elementy $v ⊗ w,$ dla $v | ∈ V$ i $w$ spełniające liniowe zależności

$pict$

dla $v′ ∈V ,w$ i $|a,b ∈C.$ Można wykazać, że dla ustalonych baz $v1,...,vn$ i $|w1,$ bazą przestrzeni $V ⊗ W$ są elementy $|v ⊗ w i j$

Powyższe zależności oznaczają, że $C2n ⊗ C2m$ może być utożsamione z przestrzenią $C2n m$ za pomocą przyporządkowania określonego w bazach Diraca przy użyciu formuły $′ ′ ′ ′ b1...bn⟩⊗ b1...bn⟩( b1...bnb1...bm.⟩$

Operacja iloczynu tensorowego może być również wykonana na operatorach $|ϕ V V$ i $ξ W W.$ Jest ona oznaczana przez $ϕ ⊗ ξ$ i zdefiniowana za pomocą formuły

(ϕ ⊗ ξ)(v⊗ w)

Intuicyjnie, każdy z operatorów w iloczynie tensorowym działa "niezależnie" na mniejszym podzbiorze współrzędnych.

Okazuje się (ponownie zachęcamy do próby samodzielnego udowodnienia tego faktu), że jeżeli $ϕ$ i $|ξ$ zadane są odpowiednio przez macierze $A$ oraz $|B = [bkm]$ to $ϕ ⊗ ξ$ zadane jest przez macierz $A$ zdefiniowaną następująco:

A

Na przykład:

⎡⎢1 1 1 1⎤⎥ --1 1 1 -1- 1 1 1⎢⎢1 −1 1 −1⎥⎥ √ 2-[1 −1]⊗ √2-[1 −1] = 2⎢⎢1 1 −1 −1⎥⎥ . ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣1 −1 −1 1⎦