Rozważmy liczbę Jeśli jest ona wymierna, szukanymi liczbami są i Jeśli natomiast jest niewymierna, to wraz z nią szukaną liczbą jest bowiem

Tego rodzaju dowód ma szczególną cechę: dowodzimy istnienia jakichś obiektów, nie umiejąc stwierdzić "co one za jedne". Patrząc głębiej, widzimy, że wykorzystaliśmy tu tzw. zasadę wyłączonego środka: liczba jest wymierna albo jest niewymierna.

Pojawianie się, począwszy od drugiej połowy XIX wieku, sytuacji krępujących matematyków, obiektów, których własności były nadmiernie paradoksalne, skłoniło część z nich (podpuszczaną zresztą przez Poincarégo) do narzucenia sobie (i zalecenia innym) ostrożności w dowodzeniu zwłaszcza istnienia jakichś obiektów: dowody istnieje, bo gdyby nie istniał, to olaboga! zostały wykluczone. Nurt, którego ojcem założycielem okrzyknięto Luitzena Brouwera, nazwano intuicjonizmem. Jego rozwój przysporzył matematyce takich pojęć, jak funkcje obliczalne, algorytmy, a nawet maszyna Turinga. Dziś intuicjonizm, pod nazwą konstruktywizmu jest filozoficznym aspektem informatyki, ale to już inna historia.

Dowiedźmy jednak początkowe twierdzenie zgodnie z intuicjonistami: takimi liczbami są i bo