Czegóż dawniej uczono
Twierdzenie Sturma
Rozważamy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia
Wiadomo, że wielomian taki ma
pierwiastków zespolonych; niektóre z nich (czasami wszystkie) są, być może, rzeczywiste. Twierdzenie Sturma pozwala obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu
należących do wybranego przedziału
Oczywiście, odpowiedź na to pytanie możemy uzyskać, stosując metodę badania funkcji wielomianowej
znaną z analizy matematycznej. Metoda Sturma jest czysto algebraiczna, nie stosuje metod analizy matematycznej.

Sprecyzujmy założenia. Wielomian o współczynnikach rzeczywistych nie ma pierwiastków wielokrotnych (gdyby miał, to możemy je usunąć opisaną w Delcie 12/2015 metodą) oraz dla ustalonych liczb
wartości
i
są różne od zera.
Ciągiem Sturma dla wielomianu nazywamy ciąg wielomianów
określony przez algorytm Euklidesa dla wielomianu
i jego pochodnej
zmodyfikowany w ten sposób, że rozważamy kolejne reszty z dzielenia zaopatrzone w znak minus:

dotąd aż wielomian nie będzie miał pierwiastków w przedziale
Ten warunek na pewno możemy spełnić, gdyż zmodyfikowany algorytm Euklidesa, który tu stosujemy, prowadzi do największego wspólnego dzielnika wielomianu
i jego pochodnej, a gdyby ten miał pierwiastek, to byłby to wspólny pierwiastek
i
czyli pierwiastek wielokrotny wielomianu
wbrew założeniu, że nie ma pierwiastków wielokrotnych.
Dla należącego do
przez
oznaczamy liczbę zmian znaku w ciągu
tj. liczbę takich sytuacji, gdy kolejne wyrazy są liczbami przeciwnych znaków, a jeśli któryś wyraz jest zerowy, to pomijamy go i porównujemy znaki pozostałych wyrazów sąsiednich.
Twierdzenie 1 (Sturma). Liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu spełniającego sformułowane wyżej założenia w przedziale
jest równa
Dowód. Dwa kolejne wielomiany ciągu Sturma nie mogą mieć wspólnego miejsca zerowego w przedziale gdyby bowiem
to wobec równości

mielibyśmy i kolejne wielomiany ciągu Sturma aż do
zerowałyby się w punkcie
co nie jest możliwe.
Wszystkie wielomiany ciągu Sturma mają skończoną liczbę miejsc zerowych, możemy więc dany przedział podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, w których każdy z wielomianów ma stały znak. Funkcja
jest stała w każdym z tych podprzedziałów i może zmieniać swą wartość tylko przy przejściu przez punkt, w którym zeruje się jeden z wielomianów ciągu Sturma.
Jeśli jest miejscem zerowym wielomianu
dla
to ponieważ

więc liczby mają przeciwne znaki. W pobliżu punktu
na lewo i na prawo możliwe są następujące układy znaków liczb
:

a w samym punkcie :

W każdym przypadku mamy tylko jedną zmianę znaku. Jeśli więc nie jest miejscem zerowym wielomianu
to przy przejściu przez
funkcja
nie zmienia swej wartości. Jeśli natomiast
jest miejscem zerowym wielomianu
to

Ponieważ więc w pewnym otoczeniu
funkcja
ma stały znak. Gdy
funkcja
ma przeciwny znak niż
gdy zaś
funkcje
i
mają ten sam znak. Zatem funkcja
przy przejściu przez
zmniejsza swą wartość o 1. Liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu
leżących w przedziale
jest istotnie równa

Przykład 1. Wyznaczymy liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu i wskażemy takie przedziały o końcach w liczbach całkowitych, z których każdy zawiera tylko jeden z tych pierwiastków.
Zamiast pochodnej możemy przyjąć
gdyż przy wyznaczaniu liczby zmian znaku ważne są tylko znaki wartości wielomianów ciągu Sturma. Obliczamy
więc przyjmujemy
a ponieważ
więc
Budujemy tabelkę, w której pierwszym wierszu wypisujemy wybrane liczby całkowite - będą one końcami przedziałów, w których spodziewamy się pierwiastków wielomianu
a w pierwszej kolumnie wypisujemy wielomiany ciągu Sturma. Pod każdą liczbą z pierwszego wiersza wypisujemy znaki kolejnych wielomianów, a niżej liczbę zmian znaku.

Z tabeli odczytujemy, że po jednym pierwiastku wielomianu zawiera każdy z przedziałów
Są to oczywiście wszystkie pierwiastki, gdyż wielomian stopnia trzeciego nie ma więcej niż trzy pierwiastki.
Przykład 2. Rozważmy teraz wielomian Jako
możemy przyjąć
Ponieważ
więc przyjmujemy
Następnie obliczamy
; zatem
Budujemy tabelkę podobną, jak w poprzednim przykładzie, ale zaczniemy od wyznaczenia znaków granic wielomianów ciągu Sturma w
i

Wynika stąd, że wielomian ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Obliczmy liczbę zmian znaku na końcach przedziału

Jedyny pierwiastek wielomianu należy do przedziału