Czegóż dawniej uczono

Pierwiastki wielokrotne wielomianu

Rozważamy wielomian $w$ stopnia $n$ o współczynnikach rzeczywistych...

Liczba $x0$ jest pierwiastkiem wielomianu $|w,$ jeśli wielomian ten jest podzielny przez dwumian $x − x0.$ Pierwiastek $x0$ jest $k$ -krotny ( $k$ jest pewną liczbą naturalną), jeśli wielomian $|w$ jest podzielny przez $|(x− x )k, 0$ ale nie dzieli się przez $|(x− x )k+1. 0$ Na przykład dla wielomianu $3 2 |w= x (x + 2)(x − 1)$ pierwiastek $|x1 = 0$ jest trzykrotny, $x2 = −2$ jest dwukrotny, $x3 = 1$ jest jednokrotny.

Do badania krotności pierwiastków wielomianu wygodnie jest posłużyć się pochodną tego wielomianu. Na wykładzie algebry nie odwoływano się do definicji pochodnej znanej z analizy matematycznej, a określano pochodną jednomianu $|a xk k$ w sposób formalny, jako $|k⋅a xk−1, k$ pochodną jednomianu stopnia zero $|a0$ jako 0, a pochodną wielomianu będącego sumą jednomianów jako sumę pochodnych tych jednomianów. Na przykład

(3x4− 2x3 + 4x2 + 5x − 7)′= 12x3 − 6x2 + 8x + 5.

Można udowodnić, że pochodna określona w sposób formalny dla wielomianu ma wiele własności przysługujących pochodnej funkcji znanych z analizy matematycznej, w szczególności pochodna iloczynu wielomianów $|w$ i $v$ spełnia związek $′ ′ ′ |(w⋅ v) = w⋅v +w ⋅v .$

Twierdzenie. Jeśli liczba jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $w,$ to jest pierwiastkiem $|(k− 1)$ -krotnym pochodnej $w′ .$

Dowód. Ponieważ $x0$ jest pierwiastkiem $|k$ -krotnym wielomianu $w,$ więc $w = (x− x )k ⋅v, 0$ przy czym $v(x ) ≠ 0. 0$ Wobec tego

w′ = k(x− x0)k−1⋅v +(x − x0)k⋅v′= (x − x0)k−1[k ⋅v + (x −x0) ⋅v′].

Liczba $|x0$ nie jest pierwiastkiem wielomianu występującego w nawiasie kwadratowym, gdyż jest pierwiastkiem drugiego składnika, ale nie jest pierwiastkiem składnika pierwszego. Wynika stąd, że jest ona pierwiastkiem $(k − 1)$ -krotnym pochodnej $|w′.$

Wniosek 1. Liczba $|x0$ jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu $|w$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest wspólnym pierwiastkiem tego wielomianu i jego pochodnej, a zatem jest pierwiastkiem największego wspólnego dzielnika $|NWD(w, w′ ).$

Wniosek 2. Dzieląc wielomian $w$ przez $|NWD(w, w′ ),$ otrzymamy wielomian mający te same pierwiastki, co wielomian $w,$ ale wszystkie jednokrotne.

Dowód. Istotnie, jeśli $x0$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $w,$ to jest pierwiastkiem $|(k− 1)$ -krotnym pochodnej $|w′,$ jest więc też pierwiastkiem $(k − 1)$ -krotnym wielomianu $NWD(w, w′).$ Dzielenie $|w$ przez $NWD(w, w′ )$ możemy nazywać usuwaniem pierwiastków wielokrotnych.

Przykład. Usuniemy pierwiastki wielokrotne wielomianu

6 4 3 2 w = x − 6x −4x + 9x + 12x + 4.

Obliczamy pochodną $w′ = 6x5 − 24x3− 12x2 + 18x +12.$ Aby obliczyć $|NWD(w, w′ ),$ zastosujemy algorytm Euklidesa, zastępując wielomian $′ w$ proporcjonalnym do niego wielomianem $|w∗ = x5 −4x3 − 2x2 + 3x + 2.$ Najpierw dzielimy $|w$ przez $w∗$ z resztą i dostajemy

6 4 3 2 5 3 2 4 3 2 x −6x −4x +9x +12x+4 = x ⋅(x − 4x −2x +3x+2) −2(x +x −3x −5x− 2),

a następnie dzielimy $w∗$ przez $|x4 + x3 −3x2 − 5x− 2,$ otrzymując iloraz $|x− 1$ i resztę 0. Wobec tego $|NWD(w, w′ ) = x4 + x3− 3x2− 5x − 2.$ Po podzieleniu wielomianu $w$ przez otrzymany wielomian stopnia 4 otrzymamy $|x2− x − 2,$ czyli $|(x + 1)(x −2).$ Zatem liczby $− 1$ i $|2$ są pierwiastkami wielomianu $w.$ Można łatwo sprawdzić, że $|−1$ jest pierwiastkiem czterokrotnym, a 2 - pierwiastkiem dwukrotnym.